感度とは構造系に含まれるパラメータ(以下設計変数と呼ぶ)の変化に対する構造応答の比,即ち変化率のことであり,最適設計,信頼性解析などの分野において広く用いられることは周知の通りである.感度解析の手法としては,差分法,随伴法,微分法(摂動法)などが知られており,線形問題においては感度解析の諸理論はほぼ整備,確立されているといっても過言ではない.一方,非線形問題における感度解析の歴史は比較的浅く,最近では多数の研究者がこの分野を手懸け始めているものの,非線形問題では構造応答が負荷経路に依存したり,場が設計変数に対して不連続に変化したりする場合もあることから,特に微分法で感度を求めることの是非については疑問が残り,理論の確立が待たれる状態にある.また非線形理論の複雑さを反映して感度解析の定式化は冗長となりがちであり,これが実用化,汎用化を疎外することも懸念される.もちろん単なる差分法の適用は原理的には可能であるが,非線形有限要素解析を繰り返すことにより多数の感度を求めることは,実用規模の問題については計算時間とコストの面からほとんど不可能に近い.

　本研究では先ず既存の負荷経路依存問題に対する感度解析手法についての比較をすることにより,それらの手法の特徴及び計算効率を検証する。続いて幾何学的非線形性並びに負荷経路依存性のある材料非線形性の両者を考慮した感度解析手法を定式化し,これを原子炉燃料棒支持スプリングの弾塑性大変形解析に適用することにより,実用規模の問題に対する本手法の有効性を検証し,併せて感度解析結果とそれに基づく確率的評価から燃料棒支持スプリングの設計・製造における実用上の知見を求める.更にこれに接触を考慮した大変形弾塑性接触問題の感度解析手法を開発し,原子炉蒸気発生器伝熱管の大変形弾塑性接触問題の感度解析を通じてこの手法を検証する。本研究で用いる感度解析手法は設計変数に対する内力の変化率を差分的に評価する半解析的な手法であるが,計算効率が高い.汎用コードへの組み込みも内力評価ルーチンを利用し,構成式の形によらずに容易に行なうことができる.更に動的解析への拡張も容易である。

1.大変形弾塑性感度解析:

　Total Lagrange法による時刻t_iでの仮想仕事の原理

　

　を有限要素法を用いて離散化すると,内力ベクトルをQ_i,外力ベクトルをF_iとして平衡方程式

　

　を得る。上式は変位に関する非線形方程式となるため,速度型の構成式を用いて接線剛性マトリクスKを導き,反復解析を行うことになる。負荷経路依存性のある問題において,ある有限な負荷増分F_kに対し,増分形の平衡方程式

　

　を満たすような変位増分U_kを求め,U_i＝U_kとして時刻t_iでの変位を近似的に評価する。式(1)における参照配置を基準配置とすると,updated Lagrange型となる。

　感度解析手法には直接微分法と随伴法がある。負荷経路依存問題に対して随伴法も適用できるが,現段階では計算効率が低いため,実用上は使われていない。直接微分法としては次のような方法がある。

　・半解析法(SDM:Semi-analytical Differentiation Method)

　設計変数をb_jとすると,第i増分における平衡方程式は

　

　と表わせる。設計変数b_jの変分に起因する式(4)の変分をとると

　

　となる。上式左辺第2,3項目を次式で近似的に評価する。

　

　感度は次のように近似される。

　

　ここで応力積分は後退Euler型応力積分の一種であるradial return法を用いる。従ってこの応力積分と整合する接線剛性マトリクスKを用いることが効率的であり,かつ変位感度の精度も向上させる。変位感度から他の変数の感度が求められる。

　直接微分法1(DDM1:Direct Differentiation Mmethod 1)

　この方法の特徴はEuler型応力積分を用いて増分内の剛性が一定とすることである。Updated Lagrange型の平衡方程式

　

　を設計変数に対して微分することにより,変位増分の感度が求められる。

　・直接微分法2(DDM2:Direct Differentiation Method 2)

　この方法ではradial return応力積分法を用いる。式(5)左辺第2,3項目を直接微分することによって求め,式(8)から変位感度が得られる。

　弾塑性問題における応力感度の履歴に特徴的なことは感度の不連続性が存在することである.このような不連続性は,応力・ひずみ関係において降伏点,硬化係数の折曲り点など勾配の不連続な点がある場合,感度評価点での応力がそれらを通過する際に生じるものであり,弾塑性問題における感度解析手法は,このような応力感度の不連続性を表現できるものでなければならない.SDMとDDM2にはこの不連続性を反映できる応力積分法が用いられるため,感度の不連続性を表現できるが,Euler型応力積分に基づくDDM1では増分内の剛性が一定とすることから,このよう感度の不連続性を正しく表現できない。一例として図1に示されるような問題では,降伏点で理論解とSDMおよびDDM2の感度は不連続となるが,DDM1の感度は連続となる。

図1 感度の不連続性を示す例

　原子炉燃料棒支持スプリングはプレス加工により形成されるため板厚には多少の変動を生じる。本研究では板厚を設計変数としてSDMによって感度解析及び確率的評価を行った。図2は3つの断面の板厚に対する最大Mises応力の感度履歴である。負荷経路依存問題における感度も負荷経路に依存することが分かる。図2の断面i＝30の場合について感度の不連続性が存在することが見られる.前述のDDM1によればこの問題においても連続な結果が得られた。

　また感度解析結果を有限差分法で得られた結果と比較したところ良好な一致をみた。表1はその一例である。次に求められた板厚に対する感度と板厚分布の計測値を処理した統計量から1次近似2次モーメント法により燃料棒を挿入する際に生じる反力の3限界を評価した結果を図3に示す。板厚のばらつきにより反力の分散は無視できないことが図3により指摘される。計算時間についての比較は,SDMとDDM2の1設計変数に対する感度解析時間が有限要素解析時間の約5〜6%であるのに対してDDM1はほぼ同程度(98%)となった。

図表図2 板厚t₄(₄),t₃₀(₃₀),t₅₂(₅₂)に対する点Mでの相当応力の感度履歴 / 表1 差分法及びSDMによる最大相当応力感度の比較 / 図3 反力の3限界図

2.大変形弾塑性接触問題の感度解析

　接触力がなす仮想仕事を考慮に入れ,力学及び幾何学的制約条件から,接触問題の基本方程式を次の式で表わす。

　

　拘束方法としてLagrange未定乗数法を用いる場合,G_kが独立変数であるから,式(10),(11)を設計変数に対して微分すると次のようになる。

　

　Penalty法を用いる場合には,接触力が幾何学的貫通量の関数とすることから,式(12)は次式となる。

　

　このR_iは大変形弾塑性問題と同様にして得られる。F_pi,F_di及びG_iは半解析的に求める。

　

　感度の精度を向上させるためにはconsistentな接触剛性を用いることが必要である。その影響を検討した例が図4に示されている。

　最後に原子炉蒸気発生器伝熱管と管板の接触問題をとりあげ大変形弾塑性接触感度解析手法を用いて伝熱管外径など3つの設計変数に対する伝熱管内面応力の感度を解析した。有限要素法解析時間が4時間に対して1つの設計変数の感度解析時間は約7分であった。図5に示されるように感度解析結果と直接差分法で得られた結果は良い一致をみた。図6は一例として伝熱管の外径に対する内面の軸応力の感度を示したものである。他の設計変数に対する感度と比べると,外径に対する感度が2桁大きいことが分かった。このような実用問題を通じて本研究で開発した大変形弾塑性接触問題感度解析手法の有効性を検証した。

図表図表図4 感度解析に対する接触剛性の影響 / 図5 感度解析と有限差分法の結果の比較 / 図6 伝熱管外径に対する内面軸残留応力及び感度

　本論文は、「Nonlinear Finite Element Sensitivity Analysis for Large Deformation Elastoplastic and Contact Problems」(和訳:非線形有限要素法による大変形弾塑性及び接触問題の感度解析)と題し、6章よりなる。

　感度とは構造系に含まれるパラメータ(設計変数)の変化に対する構造応答の変化の比、即ち変化率のことであり、品質管理、最適設計、信頼性解析などの分野において広く用いられている。感度解析の諸理論は線形有限要素法においては現在ほぼ確立されているといっても過言ではないが、非線形有限要素法における感度解析の歴史は比較的浅く、特に弾塑性問題のように構造応答が負荷経路に依存したり、場が不連続に変化することのある場合について、どのような手法が適切で、また感度履歴がどのような挙動を示すかについては十分な研究がなされてはいない。更に非線形問題として実用上重要な大変形を含む弾塑性接触問題における感度解析の開発も待たれている実情にある。

　本論文は、先ず最近提案されている幾つかの負荷経路依存問題に対する感度解析手法の特徴及び計算効率を比較し、次にこの結果をもとに大変形弾塑性接触問題の感度解析手法を新たに開発し、その有効性を実用規模の解析例を通じて検証することを目的としている。

　第1章は緒言で、本研究の背景、目的及び関連分野における従来の研究を述べている。

　第2章では、続く第3章における感度解析の定式化のために、非線形有限要素法の諸式を詳細にわたり誘導している。即ち仮想仕事原理に基づくupdated Lagrange型及びtotal Lagrange型の非線形有限要素離散化を行い、また非線形方程式を解くための接線剛性を導くに当って、微小変形古典理論の弾塑性構成則を有限変形の場合に拡張している。また弾塑性問題における応力積分アルゴリズムと、これに整合する接線剛性(consistent tangent stiffness)を導いている。

　第3章では、まず非線形問題、特に負荷経路依存性がある問題における各種感度解析手法の諸式を示し、次に数値解析例を通じてこれらの手法の特徴、計算効率及び計算精度について検証し、弾塑性問題における降伏のような物性の不連続な変化を考慮する場合、感度履歴も不連続となることを指摘している。また感度解析において、応力積分アルゴリスムと整合する接線剛性を用いることの必要性を検討している。さらに、新たに開発したプログラムを用いて原子炉燃料棒を支持するグリッドスプリングの解析を行うことにより、実用規模の問題に対する各種感度解析手法の有効性を比較している。最後に得られた感度と板厚空間分布の実測値の統計量を用いて、1次近似2次モーモント法によりグリッドスプリングの反力と応力の分散を評価し、実用上の知見を得ている。

　第4章では、第5章における感度解析の定式化のために、接触問題における有限要素解析の諸式を誘導している。有限要素法で離散化された接触点での仮想仕事を拘束条件として、これにLagrange未定乗数法及びpenalty法を導入することにより定式化している。また有限要素解析の計算効率及び感度解析の精度を向上させるため、増分内の接触点の位置及び接触表面方向の変化を考慮する厳密な接触剛性を導いている。更に簡単かつ有効な接触探索アルゴリズムを提示している。

　第5章は第3章と共に本論文の主要な内容を含む章である。本章ではLagrange未定乗数法及びpenalty法を用いた大変形弾塑性接触問題における感度解析手法の定式化を新たに行い、8節点6面体3次元ソリッド要素を用いた解析コードを開発している。接触に関する項の設計変数に対する微分は半解析法で容易に評価している。また定式化及び数値解析を通じて、感度解析において厳密な接触剛性を用いることの必要性が示されている。更に、開発したコードによって原子炉蒸気発生器伝熱管と管板の接触問題の感度解析を行い、実用規模の問題に対する本手法の有効性及び計算効率を実証している。なお解析結果から、蒸気発生器伝熱管の拡管加工により生じる残留応力に対する影響度の高い設計変数は、ある部位における伝熱管外径であることを指摘している。

　第5章「結論」では、以上の成果を総括している。

　以上を要するに、本研究は負荷経路依存性のある大変形弾塑性問題、更には大変形弾塑性接触問題の感度解析手法の定式化を行い、その有効性を検証すると共に、新たに開発した3次元有限要素解析コードで実用規模の問題を解析し、幾つかの重要な知見を得たものであって、工業上、また特に構造力学の観点から、工学上寄与するところが大きい。よって本論文は搏士(工学)の学位請求論文として合格と認められる。