素粒子論の歴史を振り返ると,標準模型にいたるまでの大きな進展は常に,場の理論のダイナミクスに関する新しい理解によってもたらされたと言っても過言ではないだろう.現在,場の理論のダイナミクスのうち,摂動論で調べられることは非常によく理解されており,それが標準模型の実験による検証の基礎にもなっているが,非摂動効果にかかわる問題は,必ずしもよく理解されているとはいえない.重力の量子論をふつうの場の理論の枠内で構成する試み(量子重力),特にそのダイナミクスを具体的に解いてみることは,場の理論における非摂動効果に対する新しい理解を与えるものと期待される.それはまた理論物理学のさまざまな問題,例えば超弦理論のような統一理論や,宇宙初期,ブラックホールの物理,あるいは,膜の統計力学などと深く関わっており,これらの問題に対しても進展を与えるであろう.

　88年から89年にかけて2次元重力が厳密に解かれたことにより,量子重力に関する基礎的な理解はかなり進んだ.しかし,ここでの知見は,物理的な応用ということに関する限り,まだおもちゃの模型の域をでていない.まず,2次元重力を弦理論に応用する立場からは,いわゆるセントラル・チャージ1の壁を越えなければならない.一方,重力をふつうの場の理論として定式化する立場から言えば,高次元を調べていかなければいけない.それらの難しい課題に向けて,解析的な手法を開発する努力は惜しむべきではないが,一方で,数値的な方法を押し進めるということは,不可欠のように思われる.

　本論文では,量子重力のダイナミクスに対する数値的なアプローチについて議論した.現在量子重力の正則化として用いられている方法は,力学的単体分割とレッジェ・カリキュラスの二つがある.ところがレッジェ・カリキュラスについては,連続極限において一般座標不変性を実現するという保証がないという問題がある.第二章では,この問題に関する我々の研究について,詳述した.また,第三章では,高次元量子重力の研究の現状についてまとめた.

　量子重力のダイナミクスを理解する事は,素粒子理論の次なる大きな発展のために是非とも必要であると思われる。特に、物質場のセントラル・チャージが1以下の場合における2次元重力の最近の発展をふまえて,さらに物理的に重要なセントラル・チャージが1以上の場合や,高次元の場合を数値的に調べていくことは,重要である。現在量子重力の正則化として用いられている方法は,力学的単体分割とレッジェ・カリキュラスの二つがある.力学的単体分割の方法は,2次元で厳密に扱われており,連続理論で得られている結果を再現している。したがって,この方法は連続極限がとれれば一般座標不変性を回復すると期待することができる。高次元でこの系をモンテカルロ・シミュレーションで数値的に調べる研究は92年ごろから,多くの人により盛んに研究され,4次元において2次相転移点が見つかるなどの成果が得られているが,その2次相転移点で連続極限が実際にとれるかどうかなど,重要な問題に関してはまだ理解がされていない。また,力学的単体分割では格子の構造を次々に変えていかなければいけないため,計算時間が膨大になって,あまり大きな系を扱えないという現実的な困難もある。一方レッジェ・カリキュラスは,格子の構造を固定して,辺の長さに関する積分で計量のゆらぎを表現するので,普通の統計系と同じように計算機で扱うことができる。しかし、連続極限において一般座標不変性を実現するという保証がなく,また,正則化に必要なカット・オフが明確に定義されていないなど,原理的な問題がある。

　まず第2章ではレッジェ・カリキュラスに関する上のような原理的な問題に関する研究が報告されている。2次元の場合は力学的単体分割により多くの結果が知られているから,これを再現できるかどうかを調べるという方法が考えられる.今までのシミュレーションでは,Bock-Vinkによりストリング・サセプティビリティが,Holm-Jankeによりイジング模型に2次元重力を結合させたときの臨界指数が測られており,いずれも否定的な結論が得られていた.しかし上のような量は,レッジェ・カリキュラスにおいては,その定義に曖昧さがあり,明確な結論を与えることはできない。ところで,2次元面をその上の一点から測地的距離が一定のところで切った切り口は,一般にいくつかの閉じたループになるが,そのループの長さの分布(以下単にループ長分布と呼ぶ)が最近,川合・河本・最上・綿引によって力学的単体分割において調べられ,連続極限を持つことが示されている。ループ長分布がレッジェ・カリキュラスでも曖昧さなく定義でき,シミュレーションでも精度良く求めることができることに着目し,これを用いて上に述べたような問題に明確な答を与えようとしているところが本研究の独創的な点である。数値計算の結果は,辺の長さの積分における積分測度を一様測度にしたときはまったくスケーリングが見られなかったが,スケール不変な測度を用いたときは,子宇宙のふちをなすループに関しては,正しいスケーリングを示している。一方母宇宙のふちをなすループに関しては,スケーリングが見られなかったが,これは系の大きさがまだ十分でないためであると考えられる.以上の結果は,レッジェ・カリキュラスでも連続極限で一般座標不変性を回復できるという可能性を示唆する初めての成果として,大きな意義があると思われる.

　次に第3章では,力学的単体分割による4次元量子重力のシミュレーションを用いた研究が報告されている.一般に量子重力は2次元以上では摂動論的にはくりこみ不可能であり,また経路積分の測度をきちんと定義するためにユークリッド化を行うと,作用が底なしになってしまうなどの問題があるため,数値シミュレーションにより,非摂動論的に調べることは重要である.そのような研究は既にいろいろな人々によりなされているが,連続極限がとれるかどうかを明らかにするためには,相転移の性質についての理解が不可欠に思われる.また,これまでは主に,アインシュタイン作用を素朴に格子化した作用を用いて調べられてきたが,作用のとりかたには任意性がある.本研究では強結合相で一つの頂点のまわりに単体が集中してしまっていること,また,弱結合相ではブランチ・ポリマー的な構造になること,など2つの相における配位の性質が明らかにされている.また強結合相における上のような現象を抑える作用を付け加えてシミュレーションを行った結果,相転移そのものが消失し,重力定数の全ての領域でブランチ・ポリマー的な構造になってしまうことが報告されている.これは連続理論を構成する立場からは一つの否定的な結果と言えるが,今まで観測されていた相転移が,頂点のまわりの4単体の個数のゆらぎが非常に大きくなることによって起こっていたことを示す事実としても興味深い.また,弱結合相で,ブランチ・ポリマー構造になることが,連続理論で問題になるいわゆるコンフォーマル・モードの不安定性と関係していることを示唆する結果も報告されている.これらの結果は,これまで知られていた相転移の性質を明らかにするものであり,今後高次元量子重力で連続極限がとれるかどうか,というような重要な問題に取り組んでいく上での,重要な指針を与えているといえる.

　以上,本論文では量子重力のダイナミクスに関わる本質的な問題が,数値的な手法を用いて明らかにされている.これは,素粒子理論に残されたもっとも重要な課題である重力の量子論の構成に寄与するばかりでなく,理論物理学のさまざまな問題,例えば場の理論における非摂動効果に対する理解,宇宙初期,ブラックホールの物理,あるいは,膜の統計力学などと深く関わっており,これらの問題に対しても進展を与えるものである.

　なお,本論文第2章は,押川正毅氏との共同研究であり,第3章は,堀田智洋氏,出渕卓氏との共同研究であるが,論文提出者が主体となって研究を行ったもので,同提出者の寄与が十分であると認められる.