プラズマ物理学は非線形現象に満ちあふれており、解析的に結果を出すことは難しい。そこで期待されるのは計算機によるシュミレーションと、ある場合の非線形をきちんと扱えるソリトン理論である。ソリトン理論によって現在までで非線形が厳密に解ける場合がたくさん分かってきた。これら最新の結果は未だ数学者だけのものであり、これらの工学的な応用は計り知れない。

　このなかでもドロミオンといわれる高次元局在構造は、Davey-Stewartson方程式の1型といわれる方程式に特有の厳密解であり、最近見つかった全く新しい概念の非線形現象である。しかしこの方程式はこれまで水の波でしか理論的に導かれていなかった。今回これをプラズマ物理で導出することに成功した。それは、縦磁場中を垂直に伝播する静電イオンサイクロトロン波で起こることが明らかになった。

　基礎になる物理系は

　ここで、n,vはそれぞれ、イオンの密度、速度であり、は静電ポテンシャル、b＝(1,0,0)は外磁場を表す。また、であり、(イオンサイクロトロン振動数)、(イオンプラズマ振動数)の比を表す。

　この系に逓減摂動法を応用する。波の郡速度で動く系から見ると包絡線の変調はゆるやかなので、

　を得る。これを図示すると

図表

　非線形の3次まで計算すると次の閉じた連立非線形方程式を得る。

　ここで、,であり、やC_iはキャリア波の波数や、磁場の大きさの関数であり、V_gは系の郡速度である。

　以下では系の依存性は無視して、z方向は一様として空間2次元で考えてゆく。この方程式は、適当な独立変数の1次変換などによって、Davey-Stewartson(DS)方程式といわれる(2+1)次元可積分方程式に帰着できることが分かる。

　始めに磁場のない時のイオン波の高周波部の振る舞いについて考えてゆく。このとき、先ほど導出した非線形方程式は適当な規格化により

　と書ける。ただし、以下では,,をそれぞれx,y,tで表すことにする。

　この方程式はDS方程式の2型(DS2)といわれるタイプの方程式である。

　この非線形方程式の新しい厳密解を求めよう。それにはまず、この方程式に対して2Q+|A|²＝qという変換をし、その後、座標を45度回す。さらに変数変換

　をする。すると、Fについて次の線形方程式に変換できることを見出した。

　ここで、a(x,t)とb(y,t)は、任意関数でよく、これらを適当に選んでこの線形方程式を解くことにより、もとの非線形方程式の厳密解が得られる。さて、この任意関数をsech²にとり、Darboux変換を用いることにより興味深い厳密解を得ることができた。その振る舞いは、ソリトンがリコネクションを起こしていると見なすことができるものである。

図表

　そしてこれは、一種の高次元ソリトンの共鳴構造として解釈できることが分かった。現在盛んに研究されている磁気リコネクションと同じ振る舞いをイオン波ソリトンがする、という発見はプラズマ物理学の基礎的側面で興味深いものと思われる。

　今度は外部から定磁場がかかっているときの高周波モードの振る舞いについて考えてゆく。キャリア波の方向と磁場とのなす角度によって一般にその性質は変化する。ここでは、磁場に対して平行伝播と垂直伝播の場合について調べてゆく。平行伝播のとき、先ほどのDS方程式は連立でなくなり、つぎの3次元非線形シュレデインガー(3DNLS)方程式

　になる。これに対してビリアル定理を応用しイオン波のコラプスの可能性を示すことが出来た。

　次にキャリア波が磁場に対して垂直に伝播するときについて考えよう。ただしこのときは、厳密には基礎方程式にポアソン方程式は使えなくなる。なぜならイオンのラーマー半径に比べて電子のそれは小さいので、電子は、磁力線に沿った方向以外ではボルツマン分布ができないからである。よって、垂直からのずれがイオンと電子の熱速度の比程度以上でないと例のポアソン方程式は成立しない。だが、この比はかなり小さく、今回の摂動論の範囲内ではゼロとみなせるので、垂直伝播をこの意味で考えてゆけることになる。このとき、方程式は

　となる。ただし_i,_iは、波数k_yと磁場の大きさとイオン密度の比を表わすパラメーターaの関数である。今度は方程式は結合系になり、DS方程式の標準形になっている。興味深いのはAの時間発展の方が楕円型、Qの方が双曲型のときである。このときはDS1型と言われ、2次元空間に局在するソリトン解があることが最近示されている。これはドロミオンといわれ、このDS1型に特有な厳密解で現在までで高次元における局在モードソリトンの唯一の例である。この方程式がDS1型になる条件を詳しくしらべてみるとその時は平面波の自己集束と自己捕捉が同時に起こりうることが分かった。つまり横と縦から平面波が同時に狭くなり成長していき非線形飽和が起こるので局在構造の形成の可能性がある。以上によりドロミオンは、変調不安定と自己集束が同時に起こり、それが非線形飽和してできる局在構造である、というプラズマ物理学的解釈を得ることができた。

　静電イオンサイクロトロン波については通常のソリトンも存在するが、これについてもソリトン爆発といえる現象を見いだした。このDS方程式の通常のソリトン解の形をA＝R(x,y,t)expi(px+qy+rt)として表すとZ≡m₁x+m₂y+m₃tとして

　となることが分かる。ただし、,などは、パラメータでありk_yとaを含んでいる。

　この解は1ソリトンの伝播を表している。ここで、もし分母がゼロになるようなパラメータ領域があったときはソリトン解は爆発してしまう。上の式から解が特異性を持たないためには>0かつ>0でなくてはならない。しかしここで、>0を保ったままで<0になったとしたら、ソリトン解は特異性を示し爆発する。この,は磁場の大きさ、イオン密度などのパラメーターを含み、これらは外部から制御可能なのでこの<0となる状況を人工的に作り出すことが可能である。これは、縦磁場をうまく調整することにより人工的にソリトンにエネルギーを与え、理論上そのエネルギーを任意の場所で発散させることができる、というものである。これは、ソリトンによるエネルギー輸送や制御に使える概念であると考えている。

　次にこのドロミオンの安定性であるが、これも最近様々な角度からの数値計算を行った結果、安定であることが結論できた。これにより、ますますドロミオンの応用が期待される。また、このドロミオン同士の衝突に関する計算機シュミレーションも行った。一般にソリトンの厳密解を走らせるのはかなりの高精度のスキームを用いなければならない。そこでこのDavey-Stewartson方程式の高精度計算スキームを加速法とパデ近似を用いる方法を利用して新たに開発し計算を行った。その結果、始め2つのドロミオンが衝突の結果4つに分かれることが分かった。そして4つへの分かれ方の普遍的な法則を見出した。それは衝突の途中に出来る一定周期の振動パルスと衝突の相対速度の競合で決定されるというものである。この一種の非弾性散乱は理論的に見ても興味深いものであると思われる。

図表

　修士(工学)西成活裕提出の論文は「Multidimensional Nonlinear Dynamics of an Electrostatic Ion Wave in a Magnetized Plasma」(磁化プラズマにおける静電イオン波の高次元非線形ダイナミクス)と題し、英文で書かれ本文6章と付録からなっている。

　本論文は、工学上重要であるプラズマ中のイオン波の高次元非線形挙動に関する解析的研究である。プラズマは高度に非線形の媒質であり、そのダイナミクスの解析は特殊な場合を除いて困難であった。特に考えている系が空間2次元以上になると数値計算を用いても取り扱いは困難になる。これに対してソリトン理論において近年、高次元の非線形ダイナミクスを解析的に取り扱えるいくつかの重要な発展があった。この論文ではソリトン理論のこの最新の成果を利用することによって、イオン波の高次元非線形挙動を解析した。全体は大きく分けて3つの部分から成る。まず、外部磁場のないときのイオン波ソリトンの挙動を調べ、次に外磁場中のイオン波の2次元局在モードの存在の可能性を示した。最後に様々な角度からの数値計算により局在モードの安定性を実証している。

　第1章は序論であり、今回の系を考えることになった背景や、これまでの研究、そしてソリトン理論の現状などについて述べている。またソリトン理論の発展による空間2次元の局在構造(ドロミオン)の発見についての実用面での重要性を指摘している。

　第2章ではイオン波の高次元非線形ダイナミクスを解析的に取り扱うための処方箋として逓減摂動法を詳細な計算とともに述べている。ここでイオン波が2次元のDavey-Stewartson(DS)方程式により記述できることを見い出した。

　第3章では外部磁場のないときのイオン波の挙動についてDS方程式を用いて解析している。この非線形方程式の厳密解を求める方法を新たに考案し、その解の挙動や特性をプラズマ物理に焼き直して議論している。その結果ソリトンのリコネクションが起こり得ることを示した。そしてリコネクションを表す厳密解は一種の高次元ソリトンの共鳴構造として解釈できることを厳密に示した。

　第4章では外磁場があるときについてイオン波の2次元ダイナミクスを調べた。特に高周波の静電イオンサイクロトロン波モードについて、その磁場に対して平行と垂直な伝播について詳しく調べた。平行伝播するときのダイナミクスはDS方程式でなく2次元非線形シュレディンガー方程式で記述され、ビリアル定理を用いることにより、強磁場の中でイオン波のコラプスが起こり得ることを明らかにした。次に外磁場にほぼ垂直な伝播の場合にはDS方程式は空間的に局在したソリトン解(ドロミオン)を持ちうることを示した。そしてドロミオンは、イオン波の変調不安定と自己集束が同時に起こり、それが非線形飽和してできる局在構造である、という解釈を提案した。

　さらに垂直伝播の時の静電イオンサイクロトロン波は、通常のソリトンとしても存在するが、この厳密解を詳細に検討することによって新たにソリトン爆発といえる現象を見い出した。そして、ソリトンはエネルギー輸送や制御に使えるという可能性を指摘している。

　第5章では、第4章で見い出した局在構造のドロミオン解の安定性を様々な角度からの数値計算を行って詳細に検討している。まず加速法とパデ近似を利用して、DS方程式の高精度計算スキームを新たに開発して計算を行った。その結果1個のドロミオンは微小擾乱に対して安定であることを明確に示している。また2個のドロミオンの衝突に関しては、非弾性散乱をし、普遍的に4個に分かれることを見い出した。さらに詳細な検討を加え、この4個への分かれ方の普遍的な法則を発見した。すなわち衝突の最中に発生する一定周期の局在振動の振動状態によって分かれ方が決定されることを見い出した。さらにこの4個への分配則は、従来のドロミオン厳密解では説明が困難であり、数値計算によって見い出された本質的に新しい現象である事を指摘している。

　第6章では論文全体の総括を与え、ソリトン理論によるプラズマの非線形ダイナミクス解析の意義が述べられている。

　以上を要約すると本論文では最新の高次元ソリトン理論を利用することによって、プラズマ中のイオン波の非線形ダイナミクスに新しい知見を与えた。特にそのリコネクションを示す振舞い、安定な局在構造の形成の可能性の指摘は、プラズマ利用に新たな方向性を与えるものであり、工学上貢献するところが大きい。よって本論文は博士(工学)の学位請求論文として合格と認められる。