Gを代数体k上の簡約代数群とする。簡単のためGの中心はk上anisotropicであるとする。kのアデール環をAと書くとき、GのA-有理点の群G(A)は局所コンパクト位相群でk-有理点の群G(k)をcovolumeが有限の離散部分群として含む。商空間G(k)＼G(A)上の二乗可積分関数の空間をL²(G(k)＼G(A))と書き、L²-保型形式の空間と呼ぶ。L²(G(k)＼G(A))上のG(A)の右正則表現R

　の「既約分解」が我々の興味の対象である。

　この表現はG(A)-不変な2つの閉部分空問(G)と(G)の直和に分解する。(G)は既約表現の直和に分解し、(G)は既約表現の「連続和」になっている。従って上の「既約分解」とは正確には(Gの既約因子を分類することである。

　PをGのk上定義された放物型部分群とし、Uをそのunipotent radicalとする。∈L²(G(k)＼G(A))のPに沿っての定数項を

　と定義する。このときL²-cusp formの空間(G(k)＼G(A))は、∈L²(G(k)＼G(A))であってその定数項_Pが全てのk-放物型部分群Pに対してほとんど至る所で消えているものたちで生成される。これは明らかにG(A)-不変な閉部分空間であって、また(G)に含まれる。

　古典的な保型形式のFourier 展開の保型表現への拡張であるWhittakerモデルは(G(k)＼G(A))の既約分解の有効な道具である。実際G＝GL(n)の時にはJacquet、Langlands、Piatetskii-ShapiroそれにShalikaにより、Whittakerモデルを使った(G(k)＼G(A))の満足のいく既約分解が得られている。しかしGがGL(n)やSL(n)以外の時にはWhittakerモデルで全ての(G(k)＼G(A))の既約因子を掴まえることはできない。従ってG＝GL(n)、SL(2)そしてU(2,1)以外の場合の(G(k)＼G(A))の既約分解は全く未解決である。

　しかし我々の現在の知識で解決可能な問題が1つある。それは(G(k)＼G(A))の(G)での直交補空間の既約分解、つまりresidual spectrumの決定をランク2の古典群に対して行うことである。実際、

　(1)Langlands([La])によりresidual spectrumはある種のEisenstein級数のそれらの極での留数たちで張られることが知られている。

　(2)一方Shahidi([Sh1])によれば、ランク2の群に対してはこれらのEisenstein級数の解析的挙動はある種の保型L-関数のそれで支配される。

　(3)従ってもしこの係型L-関数たちの極を決定できれば、(原則的には)residual spectrumの決定はGのLevi部分群Mのcusp formの空間(M(k)Z_M(A)＼M(A))の既約分解に帰着される。

　ここでZ_MはMの中心である。

　今回の論文ではこのresidual spectrumの決定を2次拡大k’/kに対応するランク2のquasi-splitなユニタリ群G＝U(2,2)_k’/kに対して行った。この場合には上の(2)のL-関数としてはHecke L-関数、浅井のL-関数それにU(1,1)_k’/kの標準L-関数が現れる。これらの極はその積分表示を考えることにより決定可能である。また(3)のLevi部分群としては、M₁:＝Res_k’/kGL(2)それにM₂:＝Res_k’/kGL(1)×U(1,1)_k’/kを考えればよく、これに対する(M(k)Z_M(A)＼M(A))の既約分解は[J-L]や[L-L]によって知られている。我々の主結果は次の通りである。

　Theorem 2.1(U(2,2)のresidual spectrum)G＝U(2,2)_k’/kのresidual spectrumは次の既約表現たちからなる。各々の重複度は1である。

　(1)1次元表現odetたち。はU(1,k)＼U(1,A)の指標を走る。

　(2)1次のユニタリ群U(V,A)の単位表現からの-lifts R(V,)たち。但し(V,(,)v)はk’/k上の1次元Hermite形式付き空間を、はk’^×＼のcharacterで＝_k’/kであるものを走る。_k’/kはk’/kに類体論によって対応する2次指標である。

　(3)2次のユニタリ群U(1,1)_k’/k(A)の非自明な1次元表現からの-lifts たち。ここではk’^×＼のcharacterで＝1なるものである。

　(4)globalな誘導表現の"global Langlands’ quotient"。ただしP₁は上のM₁をLevi成分に持つ放物型部分群であり、(P₁)はM₁(A)のcuspidalな既約保型表現で

　(a)その中心指標がで、

　(b)M₁Res_k’/kGL(2)の部分群GL(2)_kをHと書くとき、ある(P₁)の元fに対して

　が成り立つものである。

　(5)globalな誘導表現の"global Langlands’ quotient"。ただしP₂は上のM₂をLevi成分に持つ放物型部分群であり、(P₂,_k’/k)はM₂(A)のcuspidalな既約保型表現で(P₂,_k’/k)＝と書くとき

　(a)、

　(b)はU(1,A)からのWeil表現でのU(1,1)_k’/k(A)への-lift。

　であるもの。また(P₂,1)はM₂(A)のcuspidalな既約保型表現でなるものである。

　G＝Sp(2)の時の類似の結果はH.Kimと著者自身によって独立に得られている([Ki]、[Ko])。

　証明はL²(G(k)＼G(A))での(G(k)＼G(A))の直交補空間内積の詳細な分解から始まる。PとUをGのk上の放物型部分群とそのunipotent radicalとし、Pのk上のLevi成分Mを固定する。M(A)の2つの既約cuspidalな保型表現とが同値とは、をあるprincipal quasi-characterによってひねったものがに同型なこととする。既約cuspidalな保型表現の同値類にはaffine複素多様体の構造が入る。このようなの上にはG(A)の表現のベクトル束でその∈上のファイバーがであるものがある。このベクトル束のPaley-Wienerな切断に対してEisenstein級数を

　と定義する。これはの実部と呼ばれるprincipal quasi-character ReがPに関して十分正なの開領域で絶対収束し、全体に有理的に延びる。このEisenstein級数の空間から(G)へのintertwining作用素が十分正なでのFourier変換

　によって与えられる。しかもPlancherelの公式によりとの間のL²-内積は

　に等しい。ここではの複素共役ではの反傾表現である。

　L²-内積の分解を得るには(3.1)の積分軸{Re＝₀}を(＝となるように)虚軸{Re＝0}まで移動する。しかしその際にいくつかのA(,’)()の極たちをまたぐため、留数定理により

　という形になる。のに沿っての留数である。次に、A(,’)をそれぞれ、で置き換えて同様の操作を行えば、についての項は

　のようになる。dim’＝dim-1に注意してこの帰納的操作を繰り返せば、L²-内積は最終的にいくつかの虚軸上の積分といくつかの留数の離散的な和になる。

　この留数たちの離散的な和がresidual spectrumの内積を与えている。あとはkの各素点でのLanglands分類の理論とKudla、Rallis、SoudryそれにSweetの結果([K-R-S]、[Ku-Sw])を組み合わせることで定理が得られる。