1983年のホルデインの論文に端を発する,いわゆるホルデイン系の研究の興味のひとつは,整数スピンの系の振舞いと、半奇数スピンの系のそれとがどの様に異なっているか、を明らかにすることである。両者は,ホルデインの指摘したように、基底状態そのものが全く異なっていると考えられるが、それだけでなく、ダイマー転移においても大きな違いがみられる。これらの相違は、古典スピン系では決して見えないことが大切である。 第一章では、本論文の目的、構成について述べ、以下の議論に必要と思われる事項について、ホルデイン系の簡単なレビューを行った。 第二章では、厳密な基底状態が書き下せる、Valence-Bond Solid(VBS)模型と呼ばれる模型を用いて、ホルデイン系の基底状態の性質について考えた。このための手段として、我々は、基底状態を行列の積の形に書き下す簡単で系統的な方法を開発した。この方法の利点は、 ・基底状態が局所的な状態のみで書ける。そのため、基底状態におけるconfigurationsが見やすい。 ・期待値(相関関数など)が、一種の離散的な古典統計系の、転送行列を用いた’熱力学的’期待値の形にかけ、機械的に計算される。 などである。 スピン1の系では、den NijsとRommelseのstring orderパラメーター、および、Kennedyと田崎による、隠れた離散対称性の描像が成功を収めたが、これをそのままスピン2以上に拡張するのは、うまくゆかないことが押川により指摘されている。我々は、先述の表示法を用いて、S 2のVBS系にも、一定の隠れた秩序が(それが何らかの隠れた対称性に結び付くかは別として)あることを示した。この結果に基づき、押川により導入された、一般化されたstring orderパラメーター( ＝ が通常のstring orderパラメーター)  に物理的意味を与えた。 後半では、低励起の構造について考えた。一般スピンについては、低励起の構造は数値計算の困難さもあいまって余り理解がすすんではいない。我々は、’Crackion’と呼ばれる一種のtriplet bondがプロパゲートするような励起を考え、これが、単一モード近似におけるマグノンと等価であること、その励起ギャップが、ホルデインの予想の様にスピンSとともに指数関数的にゼロになることをしめした。 第三章では、上に述べた、ホルデイン系とダイマー化転移との関係を調べた。すなわち、結合交代を含むスピンS(＝1/2 or 1 or 3/2)のハイゼンベルグモデル  (以下、対称性からJ’ 1に限定する。)を考えたとき、スピン1/2では,J’≠1で基底状熊がダイマー化して、一様なスピン鎖となるJ’＝1が丁度、転移点直上となっていること、そして、このダイマー相がスピン1のホルデイン相(-J’≫1)まで連続的につながっていることもわかってきた。一方、スピン1の交代ボンド鎖では状況は大きく異なっていると期待される。つまり、J’＝1はギャップの有限なホルデイン相に属するので、転移点はJ’<1となる筈である。そこで、以下の点を中心にスピン1の交代ボンド鎖をしらべた。 ・転移点の正確な値とそのユニヴァーサリテイクラス. ・スピン1のダイマー相とスピン2の極限(J’→-∞)の間に相転移はあるか。 ・J’の変化とともに,低励起スペクトルの様子はどう変わるか。また、ストリングオーダーの定性的な振舞いはどう変わるか。 先ず、簡単な変分計算により、J’c＝1/2で転移が起こり,そこを境に一般化されたストリングオーダーパラメーター   の-依存性が定性的に変わることが予言される。 次に、転移点の値を定量的に評価するために、Binderパラメーターと有限サイズスケーリングを組み合わせた数値計算(以下、 ＝0の場合に限る。)を行い、  と見積った。我々の扱った程度の大きさ(16サイトまで)の系では、直接ギャツプの0になる点から転移点を決める方法では低い精度の評価しかできない。我々は、この転移をストリングオーダーに関する秩序-無秩序転移と見なし、オーダーパラメーター(3)を用いてBinderパラメーターを定義している。S＝1/2の時と異なり、これ以外の定義はうまくゆかないことがわかっている。 場の理論、または、solid-on-solidモデルを用いた議論によると、転移点のユニヴァーサリテイクラスはスピン1/2のハイゼンベルグモデルと同じ,レヴェル1のSU(2)Wess-Zumino-Wittenモデル(セントラルチャージ1)と考えられるが、これを、上の転移点での励起スペクトルを共形場理論の予言する式  と対照させて解析することにより,矛盾しないことを確認した。我々の得た値は  などとなっている。転移点上での、有限系の対数補正については、いくつかの仮定に基づいて処理している。 第2の点に関しては、J’〜-60までの計算を行うことにより、J’＝0からJ’→-∞の間には,相転移がない,すなわち、スピン1のダイマー相とスピン2のホルデイン相とは連続的につながっていることが結論された。これは、スピン1/2の交代ボンド系で飛田、甲元-田崎の見出したダイマー相とホルデイン相の連続性が、スピン1の系でもなりたっており、S＝1とS＝2とでは、ホルデイン相が定性的に異なることを意味する。 ホルデイン-ダイマー転移の前後で,低励起スペクトルの性質も大きく変わり、素励起が、J’＝1で有質量のネールマグノンの三重項、J’＝J’cで無質量のスピノン二重項(これは、S＝1/2ハイゼンベルグ模型と同じ)、J’<0で再び有質量のネールマグノンの三重項へと移り変わることを見出した。 また、先述の変分計算から、ホルデイン-ダイマー転移において、一般化されたストリングオーダーの-依存性が変わる、すなわち、節点の数が一個の16/81sin2(/2)から二個の4/9sin2に変わる、と予測される。J’＝1からJ’＝-10までの数値計算により、我々はこれも確かめた。 最後に第四章,五章で、我々はスピン1/2の梯子模型(2,3列)にボンド交代を入れた系  について論じた。この模型は、鎖間相互作用(JK)が負の大きな値をとるときに、上で扱ったスピン1(或は、3/2)の交代ボンド系になる、という意味で、弱結合からの交代ボンド系へのアプローチということができる。また、このタイプの模型は実験物質の存在、超伝導物質との関連から、最近注目をあつめている。 通常このような系は、アーベル型ボゾン化法で扱われるが、等方的な模型を扱うのに適した非アーベル型ボゾン化法をもちいた。くりこみ群とあわせた解析によると、これらの系では、ゼロでないJKは強結合へとスケールされることがわかる。したがって、2つの独立なチェインに鎖間相互作用をいれるという出発点はあまり良くないと思われる。そこで一つの試みとして、二つのチェインを、全スピン(これは、強結合でも良い保存量)に対応するレヴェル2のSU(2)Wess-Zumino-Witten(WZW)模型とイジング模型とで書き表した。JKが大きな値をとるときのスピン1鎖への移行とこの手続きとの対応は必ずしも明らかではないが、この描像のほうが独立なチェインを用いるより適していると考える。通常、このような系をボゾン化で扱う際には、複数のボゾンの適当な線形結合を作るが、今回はSU(2)-対称性を保ちつつ、見通し良く議論するために、コセット構成法を利用する方法を導入した。 これに鎖間相互作用を入れたときのくりこみ群のフローを議論した結果、以下の相図のようにホルデイン相がJK<0の領域にひろがっていることがわかった。転移線は上で見出したスピン1のホルデイン-ダイマー線までつながっている。また、数値計算の誤差等で定かでなかった、’ホルデインギャップ’がJK＝0から出現するときの臨界指数については、1と見積もった。これは、最近飛田の行った密度行列くりこみ群の数値計算の結果とも合っている。 この結果をふまえ、第五章では、3列の場合の計算をおこなった。3列でも、やはり鎖間相互作用はrelevantであり、2列の時と同様、工夫を要する。そのため、まず、3つの独立なレヴェル1SU(2)WZW模型、SU(2)xSU(2)xSU(2)への、レヴェル3のSU(2)WZW模型の埋め込みを調べた。その結果、理論はレヴェル3のWZW模型と、W3ミニマル模型とで書かれることがわかった。 スピンセクターを表す、相互作用のあるWZW模型のフローの計算により、低エネルギーの振舞いは、3つの非自明な固定点に支配されることがわかる。これは、スピン3/2の交代ボンド鎖(我々のモデルの強結合極限)に対してvalence-bond表示を用いたGuo-Kennedy-Ma-zumdarの議論とも一致する。シグマモデルへのマッピングなどとあわせると、3本の転移線がレヴェル1のWZW模型のユニヴァーサリテイクラスに属することが予言される。 さらに、所謂D-項の影響も調べた。D-項は、S1のスピン鎖において、実験物質との対応を考えるうえで大切である。低励起の構造に関する厳密な定理の結論とも合わせた結果、Schulzが以前得た相図とは異なり、D-項を加えても質量ゼロの相が広がっているらしいことがわかった。  図表 |