アルゴリズムとアルゴリズム

　数列¹

　¹実際は,のように無限級数の形の問題が多い.

　のm→∞での極限S_∞の近似値を求める際,直接計算すると大量のデータが必要になることがある. アルゴリズムは有名な加速法の1つで次の漸化式で与えられる.

　以上の変換を施した後,を直接計算するよりもを計算するほうがより速く極限S_∞に収束することが知られている.

　式(3)は従属変数変換

　によって次の離散型KdV方程式と等価になる.

　このことからはHankel行列式の比で表されることがわかる.

　ここで,はmに関する前進差分である.

　アルゴリズムも代表的な加速法の1つであり

　の形に書ける.nが大きくなると,奇数項はより速くに収束し,他方偶数項は発散する.Papageorgiou,Grammaticos,及びRamaniはアルゴリズムは離散型ポテンシャルKdV方程式と見なせることを指摘した.このことから各もHankel行列式の比の形になることがわかる.

　およびアルゴリズムは離散型KdV及び離散型ポテンシャルKdV方程式に等価である.これは2つのアルゴリズムの加速法としての等価性を意味する.

　さらに無限級数に対する-アルゴリズムは,連分数によるディオファントス近似に等価であり,連分数の各係数はQD法つまり時間を離散化した戸田分子方程式で記述される.このことを用いて戸田分子方程式の解の時間発展による加速法の1つの解釈を与える.

アルゴリズム

　加速法の1つ,アルゴリズムは次の漸化式で与えられる.

　アルゴリズムはアルゴリズム(9)で右辺の1がnに変わったに過ぎない.ところがこの違いが加速法および離散型ソリトン方程式としてさまざまな興味深い違いを生ずる.

　第1に加速法としての性能の違いである.アルゴリズムは指数関数的に減衰する数列や交代級数の加速に適しているのに対しアルゴリズムは有理関数的に収束する数列の加速に適している.第2の違いはそれらを差分方程式と見たときの解の形の違いである.がHankel行列式を用いて表されたのに対し,は2重Casorati行列式を用いて表される.

　第3にアルゴリズムは離散型ポテンシャルKdV方程式であったが,アルゴリズムは連続極限を考えることによって,円筒型KdV方程式

　の1つの可積分な離散化と考えられる.

　前述の通り,アルゴリズムは2重Casorati行列式を用いて表すことができるが,この行列式は連分数による有理式補間にも現われる.この事実を用いてアルゴリズムは次の形に自然に拡張される.

　式(17)で与えられるアルゴリズム(Thieleのアルゴリズムと呼ぶ)は従来のアルゴリズム(11)より広いクラスの数列の収束を加速する.

　及びアルゴリズムをさらに拡張した次のアルゴリズムを考える.

　Papageorgiouらは式(18)について非線形差分方程式の可積分系のチェックに用いられる特異点閉じ込め法(singularity confinement test)を適用した.その結果,が

　を満たすとき,このテストをパスすることが示された.,及びThieleのアルゴリズムは条件(19)を満たしている.

　この"可積分な"アルゴリズム(PGRアルゴリズム)について,

　のとき,1変数を消去することによって,離散型パンルベ方程式のI型,

　が得られることがわかった.

　またPGRアルゴリズムの加速法としての性能はどうなるか?これまでに数値実験をいろいろなケースで行なってきたが,直観的にいうと加速はよくない.しかし,特殊な場合として,

　のとき,かなり広いクラスの数列を加速する.

　数列の加速法の1つであるアルゴリズムとアルゴリズムはそれぞれ離散型KdV方程式および離散型ポテンシャルKdV方程式に等価であり,アルゴリズムとしての性能は2つとも同じである.またアルゴリズムは外見上はアルゴリズムに類似しているにも関わらず,まったく異なった性能を有する.これはアルゴリズムを差分方程式と見たときの解の行列式表現の違いにも反映されている.さらにアルゴリズムにおいて行列式の要素を変形することにより,従来より広いクラスの数列を加速できる.

　では他のアルゴリズムは何らかの可積分なソリトン方程式になっているのか?他の離散型ソリトン方程式を考えたり,または行列式の構造を変形したりすることによって,新しい加速法を作れるのか? 言い替えれば数列を加速するということと離散方程式が可積分であるということはどのように関連するのか?その他にも固有値計算や線形計画問題において非線形可積分系の構造があることが報告されているが,どうして数値計算のアルゴリズムとソリトン方程式が一致するのか?この問題の解明によるソリトン理論の数理工学への応用,これを今後の課題としたい.