5次元球面S⁵の中で、2つの3次元球面、が、それぞれ埋めこまれていてお互いにtransverseに交わっているとする。これをと書く。ここにf()∩f() in (i＝1,2)という2つの1次元絡み目が得られた。またf() in S⁵(i＝1,2)という2つの3次元結び目が得られた。ここで『2つの1次元絡み目L₁,L₂、と2つの3次元結び目X₁,X₂が与えられた時、上のようなあるfがあって上のような4組として実現されるための条件を求めよ。』という問題を考える。

　次のようにArf invariant と mod2 linking numberで特徴付けられる。

　『定理.次の(1)と(2)は同値である。

　(1)2つの1次元絡み目L₁＝(K₁₁,…,K_1m),L₂＝(K₂₁,…,K_2m),と2つの3次元結び目X₁,X₂が与えられた時、上のような4組として実現される。

　(2)2つの1次元絡み目L₁,L₂,と2つの3次元結び目X₁,X₂がつぎの(i)、(ii)のうちいずれかを満たす。

　(i)L₁とL₂がともにproper linkであって

　Arf(L₁)＝Arf(L₂)

　(ii)L₁とL₂がともにnon proper linkであって

　lk(K_1j,L₁-K_1j)≡lk(K_2j,L₂-K_2j) mod 2 for all j』

　必要性の示し方。のSeifert surfaceをV_iとする。V₁∩V₂がK₁、K₂それぞれのSeifert surfaceのrel ∂なframed cobordismを与えることに注目する。Arf invariantとmod2 linking numberをを使ってよみかえて、に障害があることを示す。十分性は、後述。

　さらに次のことも調べた。self-transeverese immersion f:S³→S⁵でsingular point set C in S⁵がconnectedなものを考える。するとf^-1(C)in S³は2成分1次元linkか1次元knotになる。ここで『上のf^-1(C)in S³として、どのようなものが得られるか?』という問題を考える。答えは、次のようになる。

　『定理.すべての2成分1次元linkおよび1次元knotが得られる。』

　ここで次の事実が興味を魅く。最初の方の結果では、f()∩f() in f()がi＝1の方は自明なknot、i＝2の方はtrefoil knotということはいかなるfに対しても起こり得ない。しかし後の方の結果では、適当なfに対してf^-1(C)in S³が、2成分split linkであってその成分が、一方が自明なknot、他方がtrefoil knotというものになる。

　(n+4)-次元球面Sⁿ⁺⁴の中で、2つの(n+2)-次元球面、が、それぞれ埋めこまれていてお互いにtransverseに交わっているとする。これをと書く。ここにf()∩f()in Sⁿ⁺⁴という2つのn次元結び目が得られた。ここで『2つのn次元結び目K₁,K₂が与えられた時、上のようなあるfがあって上のようなpairとして実現されるための条件を求めよ。』という問題を考える。

　『定理.次の2つは同値である。

　(1)2つのn次元knot K₁,K₂が上のようなpairとして実現される。

　(2)2つのn次元knot K₁,K₂が次の条件を満たす。

　knot cobordism theoryやsurgery theoryに現れるものと似た、次元に関するmod4周期があることに注意されたい。

　必要性の示し方。のSeifert surfaceをV_iとする。V₁∩V₂がK₁、K₂それぞれのSeifert surfaceのrel ∂なframed cobordismを与えることに注目する。Novikov additivityとframed manifoldの交叉積の性質を使う。十分性は、後述。

　さらに次の結果も得た。先程のimmersion に関して、2つのn次元結び目f()∩f() in Sⁿ⁺⁴が得られることは前に見た。このときf()in Sⁿ⁺⁴(i＝1,2)という2つの(n+2)-次元結び目も得られる。このとき次が成立する。

　『定理.nを偶数とする。任意のn次元knots K₁,K₂と任意の(n+2)-次元knots X₁,X₂からなる4組(K₁,K₂,X₁,X₂)は、上のようなあるfに対して、上のような交叉によって実現される。』

　証明法はZeemanの1-twist spun knotは自明になるという定理とKervaireの2n-knotはsliceであるという定理を使う。

　3個の4-sphere がS⁶にそれぞれ埋め込まれていて,お互いに交叉しているとする。∩∩＝。∩はconnectedとする。すなはちconnected oriented surfaceである。(n-次元でも同様に論じられる。)surfaceによる2-dimensional link L_i＝(∩,∩)が得られた。ただし(i,j,k)＝(1,2,3),(2,1,3),(3,1,2)。このような(L₁,L₂,L₃)としてどのようなものが得られるかを研究した。

　『定理.(L₁,L₂,L₃)が上のような交叉として得られるとする。かつ、各L_iはsemi-boundary linkとする。このとき(L₁)+(L₂)+(L₃)＝0。ただし(L_i)はL_iのSato-Levine invariantである。』

　証明法について。Sato-Levine invariantは本来₄S²に値をとるがこれをに値をとると見られることを示し、に障害を見い出す。

　さらに上の定理とSato,Rubermenの結果より

　『定理.ある(L₁,L₂,L₃)は、上のような交叉として得られない。』

　また次のことも示した。

　『定理.もし各L_iがsplit linkならば(L₁,L₂,L₃)が上のような交叉として得られる。』

　『定理.各L_iがnon-semi-boundaryな、(resp.non-boundaryかつsemi-boundaryな、)ある(L₁,L₂,L₃)が上のような交叉として得られる。』

　また次のことを指摘した。

　『各L_iのcomponentがsphereとする。もしも(L₁,L₂,L₃)で上のような交叉として得られないものがあれば次の有名な未解決問題に対する答がNoとなる。"すべての2-dimensional linkはsliceか?"』

　PartIIの交叉∩が、あるn次元PL connected closed oriented manifold Mとdiffeomorphicとする。∩ in はn次元M-knots K_iを定義するとする。

　『定理.n＝4m+3のとき。(K₁,K₂)が前述のような交叉として実現されるならば、(K₁)＝(K₂)となる。』

　『定理.n＝4m+1のとき。あるMに対して、かってなM-knotsのpair(K₁,K₂)が前述のような交叉として実現される。』

　この定理はMのinertia群が自明でないことを系として含む。この系はBrown and Steerの結果を含む。

　『定理.n＝4m+1のとき。あるM₁、M₂に対してM_i-knotsのPair(K₁,K₂)が前述のような交叉として実現されることは同値関係である。同値類はM₁のとき2個。M₂のとき3個。』

　また次も示した。

　『定理.nがevenのとき。あるMに対してM-knotsのあるpair(K₁,K₂)が前述のような交叉として実現されない。』(これらのK₁,K₂はcobordantでもない。)

　『定理.n＝4m+1(resp.n＝4m+3)のとき。あるMに対して次のようなM-knotsのあるpair(K₁,K₂)が前述のような交叉として実現されない。M-knotsには、Arfinvariant(resp.signature)が定義されてArfK₁＝ArfK₂(resp.K₁＝K₂)。』(このような(K₁,K₂)にはSeifert行列がmatrix cobordantだがcobordantでないものもある。)

　一般のn次元manifoldMの埋め込みについて。MxD²への埋め込みはCappell and Shaneson等の高度な研究がある。Sⁿ⁺²への埋め込みはさらに難しく、まだ研究すべきことは多い。上述のものは、ひとつのアプローチである。

共通する証明のアイデア。および今後の展望。

　例えば、PartI前半では目的の絡み目を得るために、S⁵の中でととを’submanifoldのsurgery’を使って下記のように変更していく。

　従来’submanifoldのsurgery’は、knot cobordism(Kervaire、Levine等)、-theory(Cappell and Shaneson等)、link cobordism(Cochran and Orr等)、splitting theorem(Cappell、Browder等)等、いずれもsubmanifoldのdiffeomorphism typeをいかに簡単にするかという視点だった。しかし本稿では、次の通り。

図表

　PartIでは。の中に上図Iの3-ballを取る。細線がとの交わり。(i≠j)に4次元2-handle h²を太線で0-surgeryが施されるように、absoluteにattachする。は再び3-sphereになる。の中で細線の部分は、での細線の部分にpass-moveを施したものになる。(上図II。)実はh²をにattachするとき、h²をS⁵の中で{-attach part}ともとも交わらずにattachできることを示す。この操作を繰り返して目的の絡み目を得る。すなはち、本稿では交叉による絡み目をいかに複雑にしていくかという視点である。

　PartII、PartIV、では高次元pass-moveというものを新たに定義し、それといくつかの操作をsubmanifoldのsurgeryによって行い、交叉によるknotを複雑にしていく。

　本稿では、submanifoldのsurgeryの拡張として交叉のある場合を扱った。これは、例えばpseudomanifold、intersection homology(Goresky and MacPhersonやCappell and Shaneson等の研究しているもの。)等と、関連して新分野となろう。