Rを離散付値環,KをRの商体,kをRの剰余体とする.この論文では,主に以下の問題を考える.

　問題:X_KをK上の非特異3次曲面とする.R上のgenericファイバーがX_Kと同型である"よい"整型スキームXがあるか?

　もちろん,この問題は,二部分に分かれる.まずは,"よい"というのは,なんでしょうか.そして,"よい"Xが存在するか.

　A.Corti[1]は以下の定義を提案した.非特異3次曲面に対して,R上平坦な閉部分スキームが,下の条件を満たせば,X_Kのstandard integral modelと呼ばれる.

　a).XのgenericファイバーがX_Kと同型で,specialファイバーが被約かつ既約である.

　b).Xが孤立cDV特異点しか持たない.

　Standard integral modelを作るために,Corti[1]は,具体的にプログラムを提案した.非特異3次曲面にCortiのプログラムを応用して,このプログラムが終止すれば,下のような整型閉部分スキームを得ることができる.

　1).XのgenericファイバーがX_Kと同型である;

　2).XのspecialファイバーX₀(X_Kの還元(reduction)ともいう)が被約かつ既約である;

　3).X₀上に,重複度2以上の直線がない;

　4).X₀上に,重複度3の点がない.

　Cortiは,Rが上の曲線上の局所環である場合(ここで幾何的な場合と呼ばれる)に,このようなXは,standard integral modelになることを証明した.Cortiは,彼の提案したプログラムが終止すると予想した.また幾何的な場合に,そのプログラムを終止させることができると証明した.したがって,幾何的な場合には,standard integral modelがある.

　前述の問題は,整数論との繋がりを持つ.たとえば,H.P.F.Swinnerton-Dyer[4]は非特異3次曲面X_Kの還元X₀上の有理点の研究によって,X_K上の有理点のuniversal equivalence relationを研究した.(Yu.I.Manin and M.A.Tsfasman[3]参照).

　この論文では,まず,幾何的でない一般の場合には,前述の1),2),3),4)を同時に満たすXが存在しない例を挙げる.

　Theorem.R,K,kを前述と同様にして,をRの極大イデアルの生成元とする.Kの標数が2,3でなく,また,任意のa∈k,a³≠2と仮定する.x₁,x₂,x₃,x₄をの斉次座標として,X_Kを以下の方程式で定義される非特異3次曲面とする.

　このX_Kに対して,任意の前述の1)を満たす整型閉部分スキームのspecialファイバーX₀の上に,重複度は3の直線がある.

　次に,K上の非特異3次曲面X_K上の27本の直線がK上に定義される場合に,前述の問題を考える.

　Theorem.R,K,kを前述と同様にして,K上の非特異3次曲面X_K上の27本の直線がK上に定義されると仮定する.u,v,w,tをの斉次座標とする.このX_Kに対して,以下の条件のうちの一つと前述の1)を満たす整型閉部分スキーム存在する.

　1°.XのspecialファイバーX₀が以下のような方程式で定義される.

　a,,,,d∈k,fは既約.この場合は,X₀が被約かつ既約で,たかだか重複度2の孤立特異点しか持たない.

　2°.XのspecialファイバーX₀が以下のような方程式で定義される.

　a,b∈k,a≠0,b≠0.この場合は,X₀が被約かつ既約で,重複度2の直線u＝v＝0を持つ.X₀のすべての特異点が,直線u＝v＝0の上にあり,その重複度は2.

　最後に,二つの直線を持つ非特異3次曲面上の有理点のuniversal equivalence relation(Manin[2])を考える.

　Theorem.Kを無限体として,を二つの直線l₁,l₂を持つ非特異3次曲面とする.

　(1).l₁∩l₂＝だったら,S上のすべてのK-有理点が一つのuniverssl equivalence classに属する.

　(2).l₁∩l₂≠だったら,S上のK-有理点のuniversal equivalence clssが多くとも二つある.この場合に,universal equivalence classが一つしかないのと,下の条件とは同値.

　Nをl₁とl₂で生成される平面とする.あるK-有理点x∈N,yNとK上の直線が存在して,lとSのintersection cycleがx+x+yであるか又は,x,y∈l⊂S.

　Rを離散附値環,Kをその商体,kをRの剰余体とする.論文提出者 李力 はR上の3次曲面Xの構造を研究した.

　まず,次のような問題を考えた:K上の滑らかな3次曲面X_Kを与えたとき,それのR上への平坦な拡張Xで「よい」ものがとれるか?

　CortiはRがC上の曲線の局所環になる場合を研究し,Xとして次のようないわゆる「スタンダード・モデル」が取れることを証明した:(1)k上のファイバーX_kは既約かつ被約で,(2)Xは孤立cDV特異点のみを持つ.

　李はこの結果をRが一般の離散附値環の場合に拡張しようと試みた.その結果,kが代数閉体でない場合には,スタンダード・モデルが存在しない例を構成した.

　そこで,X_K上の27本の直線がすべてK上に定義されるような特別の場合を考えた.この場合には,Xとして2種類の標準形のうちのいずれかがとれることを証明した.第一の標準形はスタンダード・モデルになるが,第二のほうは重複度2の直線を持つ.

　Xのよいモデルの研究はX_Kの有理点の研究と密接に関係する.それは,XによってX_Kの有理点とX_kの有理点が関係するからである.李はX_Kの有理点の集合のuniversal equivalence ralationについて考察し,いくつかの準備的な結果を得た.

　よって、論文提出者李力は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める。