我々の住む4次元において重力を量子化することは、全ての相互作用を統一的かつ根元的に理解するという理論物理の一貫性を目指すためにも、また、ブラックホール等強い重力が働いている天体現象や宇宙が生成される量子理論に基づく機構等を理解するためにも必要な試みである。

　4次元量子重力理論は摂動論では紫外発散を繰り込む事が出来ず理論の予言可能性を失いかねないという困難を持っている。しかし、摂動的には繰り込めない理論でも非摂動の効果をとりいれ、構成論的に理論を定義する事が可能な理論として非線型シグマモデル等が知られており、量子重力も非摂動論的には定義できる可能性がある。格子量子色力学理論の解析をすることによってクォークの閉じこめやハドロンの物理が理解されたように、格子理論によって、高次元量子重力の連続理論の可能性と格子模型の性質を調べる事がこの論文の主題である。

　重力に対応する格子上の模型は、正単体を張り合わせて重力場の曲率を表現する動的単体分割と考えられる。二次元においてはLiouville理論と呼ばれる連続理論を構成的に定義する事に成功している動的単体分割は高次元においては解析的な手法が開発されていない。この論文では、計算機上のモンテカルロシミュレーションを用いて単体の張り合わせ方を次々に生成し、格子理論の振る舞いを調べた。

　格子理論から連続理論を定義するためには格子のサイズを小さくしていった極限で相関長が発散することが必要であるが、これは、格子理論を統計系とみる立場では2次相転移が存在するということと同値である。

　N₀,N_Dを対象とする単体複体の頂点とD次元単体の数としたとき動的単体分割模型の正準作用は

　という簡単な形で定義される。

　本論文は重力の量子論を構成するための手法のひとつとして知られている動的単体分割(Dynamical Triangulation)模型を、モンテカルロ法に基いて考察したものである。特に3及び4次元模型における相転移現象の性質を吟味し、単体分割模型から連続理論への極限操作の可能性を探ることが主題となっている。内容は5章から成り、第一章は序文、第二章は単体分割模型の構成、第三章は本研究で用いられた数値計算法の詳細、第四章は数値計算の結果と相転移現象の性質の考察、そして第六章では結論と展望が述べられている。

　重力理論に対応する格子理論としては、正単体を張り合わせて重力場の強さを表現する動的単体分割模型が現在有力視されている。この模型は2次元では格子間隔をゼロにするある種の連続極限が存在し、量子論としてLiouville理論と呼ばれる正しい重力理論に移行することが知られている。しかしこのようなことがより高い次元、特に現実的な4次元で成立するかどうかはまだよく知られておらず、従って重力の量子論を構成する上でのこの動的単体分割模型のアプローチの有効性はこの点の解明にかかっていると言える。連続極限が存在するためには格子間隔をゼロにした極限で相関長が無限大になることが必要であるが、これは格子理論を統計系とみなした場合、その系に2次相転移が存在することに相当する。動的単体分割模型の計算機上のモンテカルロシミュレーションでは、従来この相転移は3次元では1次であるが4次元では2次であると考えられてきた。ところが最近この両者ともに1次相転移ではないかという報告がなされて、連続理論への移行の可能性が危ぶまれている。しかし、格子上の結合定数を変化させた時にみられる相転移現象の物理的に明快な理解や、可能な古典的作用を変更を行った時の相転移の性質の変化などに関してはこれまでの研究は極めて不十分であり、上記の結論も決定的なものではない。

　これらの状況を改善するために、論文提出者はまず相転移点近傍を詳細に調べる方法を開発した。これは各格子の頂点に付いている単体数に注目する方法で、これを用いて、4次元では単体数が強結合領域において他に比べて特異的に大きくなる頂点が2個存在することを数値的に発見した。さらに、結合定数を大きくすると平均単体数が小さくなることによって単体数の集中が抑えられ、その結果この特異性が解消することが相転移のメカニズムであると解釈できることを示した。またD>3次元でも同様であって、一般に特異的な単体集中の起こるD-2個の頂点が存在し得ることを明らかにし、その現象の定性的理解の方法を与えている。同時に、相転移そのものの性質も詳しく分析し、格子の有限サイズ効果を調べることによって従来の3次元の模型ではやはり1次相転移であることを示した。単体集中の発生は単体分割模型の連続極限をとるための障害となるものと考えられ、これを解消することが1次ではなく2次の相転移点をもつ格子模型を構成するための条件となる。この見地から論文提出者は、古典的作用に格子間隔程度の変更を行ったある種の模型を考察し、実際に単体集中の発生を解消させることが可能であることを実証している。

　本論文はまず第一章の序文でこの研究の動機と目的が述べられ、第二章で動的単体分割模型の概要、そして第三章では本研究で使用された数値計算の詳細が記述されている。第四章では論文提出者らによって開発された相転移点近傍を調べる方法と、その方法による解析結果、特に3次元における格子の有限サイズ効果の分析が詳述せられ、上記の結論に至る議論がなされている。さらに、変更された古典的作用をもちいた場合の考察と検討がされている。最後の第五章は、結論とともに今後の単体分割模型による重力の量子論の構成への展望に当てられている。本論文は動的単体分割模型における連続極限の意味を精密化させ、このアプローチによる4次元量子重力理論の構成へのひとつの可能な道筋を示したものである。この論文は西村淳、藤津明および堀田智洋の各氏との共同研究に基づくものであるが、論文提出者が主体となって数値計算を実行しその分析や検討にあたったものであり、論文提出者の寄与が十分であると判断する。よって理学博士学位請求論文として十分な水準に達しているとみなし、審査委員一同、本論文を合格と判定した。