近年の微細加工技術の発展にともなって、mオーダーの大きさ、もしくは、それ以下の大きさを持つ電子デバイスの製作が可能となった。そのように小さな系では、電子の量子力学的な性質、つまり、波動性が顕著に効いて来るために、通常のマクロ(巨視的)な系とは異なった電気伝導の様子が観測される。このような系は、多くの電子を含む多体系ではあるが、マクロな系とも違っているということから、メゾスコピック(中微視的)系と呼ばれる。メゾスコピック系を研究することは、これからの電子デバイスの発展に寄与するという実用的な目的のみならず、今まで、純粋に理論的興味から調べられて来た問題、実験が不可能だった非常に基礎的な問題を、実際に検証可能な問題として考え直し、新しい現象を発見することにもつながる。そのような立場から調べられたのが、本論文の題目である永久電流である。

　永久電流とは、熱平衡状態で定常的に流れている電流のことである。リング状の系の中空部分を時間的に変化しない磁束が貫いているとする。ただし磁場は、中空部分にのみ存在し、系の中に存在する電子は、磁場を感じないとする。古典的に考えれば、この磁束は、系の中の電子に影響を及ぼさない。しかし、量子力学では、磁場ではなくて、ベクトルポテンシャルが重要であり、磁場がなくてもベクトルポテシャルが、系に存在している。そのために、系の時間反転対称性が破られ、その基底状態は、電流の流れている状態となり、それに伴って、平衡状態でも電流が存在するようになる。

　磁場を生じないベクトルポテンシャルは、特異的なゲージ変換によって、シュレーディンガー方程式から消すことができ、その影響は、境界条件の方に押し込めることができる。一般に巨視的な系における物理量は、境界条件によらないと考えられているので、この効果は体積が十分に大きい極限をとる熱力学極限では存在しないものである。そのような、電流の存在する基底状態があることは、量子力学が確立し、物性物理に応用され始めた頃には既に知られていて、Byers-Yangの定理からも導かれるように、いくつかの性質も分かってはいたが、巨視的な系では存在しないのだから、実際には観測されないものとしてあまり注目されなかった。しかし、1980年頃からメゾスコピック系での実験が、多く行われるようになったことで、この永久電流が観測可能なのではないかと提言されはじめた。そして、1990年には実際に実験され、その存在が確認された。

　理論的には、永久電流は物質中での電子波の効果として考えられ、不純物ポテンシャルの中を運動する電子を考えれば良い。そのような計算は1980年代に大きく進展した、弱局在の理論における計算法を用いてなされた。しかし、その結果は、実験で得られた値より100倍程小さいものしか与えない。数値計算による解析でも、やはり、小さな値しか得られなかった。そこで、1990年以降、永久電流の大きさの理論値と実験値の不一致を巡って、多くの議論がなされた。この、不一致の原因と考えられているもっとも有力なものは、従来の理論計算が無視して来た電子間相互作用の効果である。よって、永久電流に対する電子間相互作用の効果が、永久電流を確かに増やすのかどうかを明確にする、というのが本論文の研究動機である。しかし、不純物のある系での電子間相互作用の効果を理論的に調べるのはかなり難しく、一般的には、解析や計算がかなり複雑なものになる。現在でも様々な方法が試されているが、決定的な結果を出すに至っていない。そこで、本論文では、永久電流に対する電子間相互作用の効果を調べる一つの方法を先ず提案し、それを用いて計算した結果を述べる。

　以下に、本論文の構成と各章の概括をする。まず、第一章では、今までに行われた、永久電流の研究における理論、及び実験の紹介をし、その結果をまとめる。そして、解明された部分とされてない部分を明確にする。第二章で、本研究の動機を記す。第三章で、計算に用いた方法を、第四章ではその結果を述べ、その物理的な意味、及び実験との比較などを議論する。そして、第五章はまとめである。

　以下に、方法及び結果の概要を簡単に記す。先ず、我々の採用した方法であるが、サイトモデルでハミルトニアンを表し、運動エネルギーの部分はタイトバインディング近似、不純物ポテンシャルの部分は、ランダムサイトエネルギーを採用し、相互作用部分は、長距離のクーロン相互作用で記述する。このハミルトニアンを数値的に対角化することにより、系のエネルギーが得られるので、磁束に関して微分をとってやることで、永久電流を求めることができる。しかし、電子間の相互作用をまともに扱うと非常に小さな系しか取扱えなくなる。そこで、相互作用部分をハートリー・フォック近似することによってセルフコンシステントな一体ポテンシャルとして求める。こうすると一体問題に帰着するので、比較的大きな系までの計算が可能になり、また、不純物の効果を摂動的にではなく、全て含むことができる。これが、我々の採用した方法である。また、電流だけでなく、電子の密度分布やサイトエネルギーの分布なども計算した。その結果を以下にまとめる。

　リング状の系の中空部分を磁束が貫いている場合,磁束によるベクトルポテンシャルのために系の時間反転の対称性が破れ,その基底状態は電流が流れている状態となる.このように熱平衡状態で流れる電流を永久電流と言う.この学位論文では,有限幅のリングでの数値計算により,永久電流に対する電子間多体効果の影響を理論的に研究した.

　一般に,磁場を生じないベクトルポテンシャルは,ゲージ変換によりシュレーディンガー方程式から消すことができ,その影響はリングを一周したときの境界条件を,周期境界条件から,一周したときに位相の変化をゆるす一般化された境界条件に変えることに押し込められる.巨視的な系では物理量が境界条件にはよらないので,熱力学的な極限ではこの永久電流は存在しない.しかし,系の大きさが小さく十分低温では,位相コヒーレンズ長が系の大きさと同程度になり,このような永久電流が存在し得る.

　この永久電流は,理想的な1次元リングの場合I₀＝ev_F/Lの程度であることが簡単な計算から示されている.ここで,Lはリングの周長,またv_Fはフェルミ速度である.通常,金属で作られたリングの場合,その周長や幅は電子の平均自由行程に比べれば十分大きく,いわゆる拡散領域にある.この拡散領域での永久電流に関しては,普遍的コンダクタンスゆらぎの場合と同様の方法で理論的な計算が行われ,永久電流の平均がI₀/M,典型的な値がI₀(l_e/L)となることが示されている.ここで,Mはリングのチャネル数,l_eは平均自由行程である.

　これに対して,いくつかの実験が報告された.ほぼ理想的な1次元リングに近い半導体の量子細線リングでは,理論的な予言に非常に近い永久電流が観測されている.一方,金属リングの場合,理論的な値に比べて非常に大きな(2桁程度)永久電流が報告された.以来,この永久電流は大きな理論的問題として浮上し,多くの論文が発表され,非常に混乱しているのが現状である.現在,不一致の一つの原因として考えられているのが電子間多体効果であるが,その初期の研究が不完全であったことも混乱に拍車をかけた一因である.この学位論文では,このような混乱に終止符をうつ目的で,永久電流に対する電子間相互作用の効果を,有限系に対する数値計算の手法で明確化することを試みた.

　この論文は5章よりなる.第1章では,永久電流に対するこれまでの理論的な研究と実験結果についてまとめている.第2章はこの論文の目的を述べている.第3章では,具体的に理論的に取り扱う模型(1次元リング,3次元リング,電子がスピンを持たない場合と持つ場合など)の説明と,計算方法(厳密対角化とハートレー-フォック近似)について議論する.第4章は計算結果について述べ,第5章はまとめである.以下では,この論文の主たる成果である第4章の計算結果について簡単にまとめる.