少数自由度系でも、カオス発振状態にある系は、周期的発振状態にある系に比べて、極めて多様な発振パターンを示す。ところがカオス系は、初期条件やノイズに非常に敏感に依存してその振る舞いを変化させるため、実際の系では、特定の発振パターンを意図的に実現することは難しい。そこで近年、カオス状態にある系に外部変調を加えることにより、初期条件やノイズの存在によらずに、特定の発振パターンを実現しようとする研究が盛んに行われている。変調を加える方法としては、目標とする状態と現在の状態との差をフィードバックする方法と、現在の状態に依存しない変調信号を加える方法がある。前者では、引き込みが起きるメカニズムは理解しやすいが、リアルタイムに変数の値を計測し、それに応じたフィードバックを加えなければいけないので、時間変化の速い系には応用しにくい。これに対して後者は、時間変化の速い系にも簡単に応用できるが、引き込みが起きるメカニズムは十分に理解されていない。

　これまでに、定常状態にある系や周期的な振る舞いを示す系に外部変調を加えたときに、系の運動が変調に引き込まれる現象や、反対に系がより複雑な運動に変化する現象は広く調べられている。これに対し、カオス系が変調に引き込まれてより秩序だった振る舞いに変化する現象の解明を通して、カオス発振状態にある非線形系の外部変調に対する応答を調べることは興味深い。また、外部変調により特定の発振パターンを意図的に実現することができれば、カオス状態にある系がもつ多様な振る舞いは、暗号通信や信号発生器などに応用できる。

　本研究では、共振器中に可飽和吸収体を含むCO₂レーザー系(CO₂LSA:Laser with Saturable Absorber)を用いて、カオス発振状態にある系のパラメータを変調したときに、系が変調に引き込まれた発振状態に移行する現象について調べた。具体的には、微少振幅のsin変調を加えたときにカオス発振が周期的発振に移行する現象(第3章)、あらかじめ記録したカオス発振の時系列に基づく変調を加えたときに、現在の系におけるカオス発振が記録した発振パターンに引き込まれる現象(第4章)、および、あらかじめ記録した時系列をオンオフ信号に変換し、これに基づくオンオフ変調を加えたときにも、現在の系におけるカオス発振が記録した発振パターンに引き込まれる現象(第5章)を実験と数値計算の両面から調べた。さらに、変調パラメータを幅広く変化させて数値計算を行い、カオス系が、このようなフィードバックを用いない変調信号に引きこまれる現象のメカニズムについて考察した。

　第2章では、本研究で用いているCO₂LSAについて説明する。この系は、次のような理由で、非線形系の外部変調への応答を研究するには理想的な系といえる。(1)制御性に優れ、ガス圧や放電電流を変化させることにより様々な非線形現象を示しうる。(2)可飽和吸収体に加えるシュタルク電場を時間変化させることにより、簡単にその吸収断面積を変調することができる。さらに(3)単一モードCO₂レーザーは、発振のダイナミクスが簡単で、簡単なレート方程式に基づく数値計算により実験結果を再現できる。このため、数値計算では、実験では観測することが難しい変数に着目して系の振る舞いを調べたり、実験的に得ることが難しいパラメータ領域における系の振る舞いを調べたりすることができる。これにより、引きこみが起きるメカニズムに関する議論や新しい現象の予測をすることができる。

　第3章では、パラメータに微少振幅のsin変調を加えたときに、カオス発振状態にある系が、変調に引き込まれて周期的発振に移行することを実験と計算により明らかにした。さらに、変調パラメータを様々に変化させて数値計算を行い、可飽和吸収体の吸収断面積の関数として描いた分岐図を用いて系の振る舞いを調べることにより、以下のことを明らかにした。変調がないときの周期窓におけるレーザー発振の周期をT₀とすると、変調周期TがT₀に近いときには、分岐図中で周期窓が移動する。このとき、(1)窓の移動する方向は2つある。(2)窓の中では、レーザーは変調に引き込まれた周期的発振をしているが、その発振の変調信号に対する相対的な位相は(1)の2つの方向で異なる。(3)窓の移動量は変調振幅に比例する。(4)周期窓の幅は変調振幅の線形関数である。

　さらに、より簡単な一次元離散力学系においても(1)-(3)と同様な現象が現れることを示した。

　第4章では、あらかじめ記録したカオス発振の時系列に基づく変調信号をパラメータに加えると、現在の系におけるカオス発振が、記録した時系列と同じ発振パターンに引き込まれる現象(カオスの同期現象)を観測した。これ以前に、同時にカオス発振している2つのレーザー系を用い、一方(マスターレーザー)の出力を他方(スレーブレーザー)の可飽和吸収体に入射した系において、スレーブレーザーのカオス発振がマスターレーザーのカオス発振に同期する現象が観測されている。マスターレーザーの出力を可飽和吸収体に入射して、飽和によりその吸収断面積を減少させる代わりに、本研究では、あらかじめ記録した発振が仮想的に可飽和吸収体に入射されたとして、シュタルク変調によりその吸収断面積を減少させた。可飽和吸収体(CH₃OH)の緩和は、レーザー強度の時間変化に比べて十分に速いので、レーザーに共鳴した準位間の分子数密度差は、直ちに、そのときのレーザー強度に依存した平衡値に収束する(断熱近似)。このような近似のもとでは、パラメータ変調を加えたときも、光入射をしたときと同じメカニズムで同期が起きることを示した。

　次に、パラメータ変調を用いた同期現象により、カオス発振状態にあるCO₂LSAの振る舞いを、特定の発振パターンに引き込むことができることを、実験と数値計算の両面から示した。つまり、記録したカオス発振の時系列に含まれる、任意の非周期的な発振パターン、および周期的発振パターンに、現在の系における発振を引き込むことができる。周期的な発振パターンへの引き込みは、記録した時系列に含まれる不安定な周期的発振の部分を選び、それを変換したものを繰り返し変調信号として用いることにより実現した。同時に発振しているレーザー系における同期現象の場合には、敏感な初期条件依存性のために、マスターレーザーの発振パターンを恣意的に選ぶことは困難である。これに対し、記録した発振を用いた同期現象の場合には、記録した発振パターンの中から任意の発振パターンを選び、そのパターンに恣意的に系を同期させることができるのである。

　さらに、数値計算によりノイズの存在がこのような同期現象にどのような影響を与えるかを調べた。その結果、記録した発振が、最大のパルスの高さに対して数%のノイズを含んでいても、同期が起きることを示した。このことから、変調信号がどの程度可飽和吸収体を飽和させるかよりも、いつ飽和させるかがこのような同期現象に本質的であることがわかる。しかし、ノイズの振幅がパルスの高さに対して無視できないほど大きくなると、変調信号によりランダムに飽和が起きるので、可飽和吸収体による受動的。Qスイッチが有効でなくなり、系はcw的な発振を示すことがわかった。

　第5章では、記録した発振を変形して、同期現象が起きるためには、変調信号のどの情報が本質的であるかを実験により調べた。このために、記録したカオス発振の時系列をある強度(しきい値)を基準にオンオフ信号とし、これに基づくオンオフ変調信号を系のパラメータに加えたときも、現在の系が記録した発振パターンに引き込まれることを示した。このとき、しきい値は個々のパルスが識別できるような大きさに選ばなければならない。

　さらにこの現象を応用すると、記録した発振以外にも、系が示しうる発振パターンを実際の系で実現できることを示した。系が示しうる発振パターンは、2つの相関、つまり、連続するパルスの高さの相関(リターンマップ)、および、パルスが立ち上がる時間間隔とパルスの高さとの間の相関から類推できる。この類推された発振パターンからオンオフ変調信号を作り、それを用いて系のパラメータを変調すると、類推された発振パターンを実際の系で実現できることを示した。このとき、変調をオンにする時間幅を適当な値に固定しても、引き込みが起きることも示した。これにより、有限の長さにわたってカオス発振の時系列を記録し、その系がもつ相関を求めれば、その逆変換として得られる無数の発振パターンを意図的に実現できることを明らかにした。

　これらの結果から、CO₂レーザーにおけるカオス発振を、意図的に特定の発振パターンに引き込むためには、その発振パターンがもつ時間間隔で可飽和吸収体の吸収断面積を減少させることにより、系の発振の時間間隔を制御すればよいことが明らかになった。レーザー発振の時系列中で、パルスの高さとパルス間の時間間隔との間には強い相関があるので、このような現象が起きるのは、パルスの高さの情報が時間間隔の情報に含まれているためと理解できる。

　第4章および第5章では、カオス状態にある系に変調を加えた場合について考察したが、これらの引き込み現象は、カオス発振が現れる直前の周期倍加を起こしているようなパラメータ領域においても起きることが数値計算によりわかった。しかし、パラメータをカオス領域から遠ざけると、このような引き込みは起こらなくなる。このことから、記録した発振と近い性質をもつ系に、記録した発振の時系列に基づく変調信号を加えたときに、このような引き込みが起きることがわかる。

　本研究では、カオス発振状態にある系のパラメータを変調したときに、系が変調に引き込まれた発振に移行する現象について、実験と数値計算の両面から調べた。少数自由度の非線形系では、ローレンツプロットなどの位相幾何学による定性的な議論が成り立つような系が多いため、位相空間における解析のアナロジーから、本研究で得られた結果は、ほかの非線形系における現象の解明と予測に役立つと考えられる。

　近年カオスの研究が進展し、多くの成果が上げられているが、より高次元、より複雑なカオス現象の振る舞いと、その物理の解明に向けてさらなる進展が望まれている。一方では、そのためにも、より精密な実験と理論の対比、カオスのダイナミックス、メカニズムの解明も急務である。初期条件にきわめて敏感で複雑な様相を示すカオスを、制御することは、この分野における一つの里標である。本研究はこのカオスの解明と制御に向けて、一つの方向をも示唆することができた意義のある論文である。

　すなわち、少数自由度系においても、カオス発振状態にある系は、周期的発振状態にある系に比べて、きわめて多様の発振パターンを持つ。又、カオス発振状態では、初期境界条件やノイズ等にきわめて鋭敏な多様性を示すため、特定の発振パターンを制御して実現することは困難であった。そこで、最近にいたってカオス系を制御し、特定のパターンを実現しようとする研究が開始されている。そのためには外部変調法として、目的とする状態と現在の状態とのあるパラメーターの差をフィードバックする方法と、現在の状態にはよらないあるパラメーターを変調関数信号として与える方法がある。前者は引き込みが起きるメカニズムは一見理解しやすいが、速い応答系には適用できず、又、物理的にも個別パターン間に対応があるとは必ずしも言い切れない。これに対し現在の状態によらない変調により、複雑なカオス系を、目的とするパターンに引き込む方法は、カオス生成と発展の動力学の物理として興味深いのみならず高速応答系にも適用できると考えられるが、そのメカニズムは解明されていない。この後者の方法を発展させれば一般性を持って外部変調により、カオスを制御し、特定のパターンの実現ができることが考えられ、通信や論理回路等への応用も考えられる。

　本研究は、共振器中に可飽和吸収体を含むCO₂レーザー系を用いてカオス発振状態にあるレーザー系のパラメーターを外部変調したときに、系が変調により、ある特定のカオス発振状態に引き込まれ、かつ系を特定の、パターンに制御して移行させることが可能であることを実験的及び理論的に明らかにしたものである。そこでは、フィードバック系によらず、現状にもよらないレーザー系特有のパラメーターを種々変化させ、それぞれの引き込みのメカニズムについても詳細な考察を行っている。

　本論文は6章より構成されている。第1章は研究背景の概説である。

　第2章は実験に用いられた可飽和色素の吸収体を持つCO₂レーザー系の特色について述べられている。2章に述べられているように、この系は制御性に優れ、かつガス圧や放電電流などを独立したパラメーターとして微小変調可能であり、かつシュタルク電圧を変化させることにより可飽和吸収体の吸収断面積を変調することが容易に、制御性を持って再現できることである。又この系は緩和時間の関係より簡単なレート方程式で記述できる系で、本研究の目的には最適な系の一つである。第3章ではパラメーターに微小振幅のsin変調を加えたときカオス状態にある系が周期的発振に移行する現象が、実験的、理論的に明らかにされている。特にレーザー発振の周期がToである時に、変調周期TがToに近いときには周期窓が位相変調を伴い移動することを明らかにしている。

　第4章では3章のより高度な変調によるカオスの同期が記述されている。すなわち、あらかじめ記録したカオス発振の時系列に基ずく変調信号をパラメーターに印加すると、現在のカオス発振系が、記録した時系列と同一の発振パターンに引き込まれる現象(カオスの同期)を観測している。著者の発見以前では、同時に発振している二つのカオスレーザー系を、一方のマスターレーザーを他方のスレーブレーザーに入射することにより、光による可飽和吸収を介して、カオス同期が行われている。本研究では、シュタルク変調により仮想的な光吸収断面積を変調することにより同様な同期を得ており、新しい発展である。同時にパラメーター変調を用いた同期現象によりカオス発振状態のレーザー系を特定の発振パターンに引き込むことに成功している。変調信号としては記録した時系列に含まれる不安定な周期的発振の部分を選び、ある変換を行ったものを変調信号とし、レーザー入射による同期とは異なり、任意のパターンを出現させることが可能であることを示した。

　第5章では、変調信号のどの情報が、本質であるかという議論が記述されている。顕著なものは変調信号の擬デジタル化である。記録したカオス系の発振信号をある振幅しきい値を基にオンオフ信号とした場合でも、パターンの引き込みが起きることを明瞭に示した。これらの実験結果と解析により、引き込みのメカニズムとして、励起状態の分布数による変調に由来することを結論しているが、妥当な理解であるといえる。

　以上記述したように、本研究により、複雑で不安定なカオス発振状態にあるレーザー系を変調することによりカオス系の同期やパターン制御、再現等が、実験と数値計算の両面より詳しく調べられ、レーザー系におけるカオスの物理に対し、新しい知見を加え、その価値はレーザー非線形物理学、カオスの物理学において大きいといえる。カオスの物理の発展に対する貢献と独創性も十分あるといえる。

　なお、本研究は全体として申請者塚本隆之と立川真樹、平野琢也、久我隆弘、清水忠雄、菅原俊樹との共同研究であるが、論文提出者が主体となって分析及び検証を行ったもので、論文提出者の寄与が十分であると判断する。

　よって、博士(理学)の学位を授与できると認める。