衝撃波は圧縮性流体の非線形性を示す最も特徴的な現象の一つであり、超音速流中においては支配的な現象となる。これまでに、理論解析、実験及び数値解析により、衝撃波の反射、回折、屈折、及び干渉に関して数多くの研究がなされてきている。

　これらの現象の中で、平面衝撃波の二次元楔による反射は最もよく研究がなされている問題の一つである。入射衝撃波マッハ数、及び楔角をパラメータとしていくつかの反射形態が現れることが知られており、2つのパラメータによる各反射形態の領域が得られている。

　一方衝撃波同士の干渉も重要且つ、多くの研究がなされている問題である。1960年代のEdneyによる実験及び理論解析以来、二次元の定常的な衝撃波の干渉に関する多くの研究例が見られる。Edneyは超音速流中に球形の模型及び、斜め衝撃波を発生させるための楔を設置した。斜め衝撃波が鈍頭物体前方の離脱衝撃波に入射すると、一様流マッハ数、斜め衝撃波角、入射位置によって6つの干渉のタイプが得られる。例え斜め衝撃波が弱くても干渉の結果、物体に非常に大きな影響を及ぼすことが示された。従ってこの様な流れ場の解析は気体力学的見地からだけでなく、実用問題においても重要となる。

　衝撃波の反射、干渉の実験における共通の困難な点は気流の持続時間、従って計測時間が短いことが挙げられる。更にこれらの三次元問題においては、流れの三次元構造を可視化することの困難さが加わる。二次元において有効であった可視化手法は三次元問題ではあまり有効でなくなる。Euler方程式あるいはNavier-Stokes方程式を用いた流れ場の数値解折においては計測時間、可視化という実験に伴う困難さは存在しないのでこの様な流れ場を解析するための強力な手段となりうる。近年の衝撃波捕獲法と呼ばれる数値解析手法の発達により亜音速から極超音速までの幅広い流れ場の数値解析が可能になってきた。風上差分を利用した安定で高解像度なこれらのスキームは数値解の精度を向上させてきたが、衝撃波などの不連続な流れの解像度はやはり計算格子点の分布に大きく依存する。今日のスーパーコンピュータをもってしても、特に三次元問題においては全領域において十分に細かい格子を用いることはできない。従って解像度を上げようとする部分にのみ細かい格子を用いる必要がある。この考え方に基づいて様々な手法が提案されてきたが、非常に複雑な流れ場にも対応できることから、近年、非構造格子が広く用いられるようになってきた。非構造格子では辺及びその両端の点といった、各格子要素間の関係を示すデータ構造を必要とするが、局所的なデータ構造の修正により容易に格子点の追加、削除を行うことができるので、効率的な格子点配置が可能となる。本手法を用いることにより、従来の手法では得られなかった解像度が得られ、衝撃波の反射、及び干渉流れの詳細な構造に関する新たな現象の解明が期待される。

　まず数値計算法の概略を述べる。基礎方程式にはEuler、あるいはNavier-Stokes方程式を用い、cell vertex有限体積法により空間離散化を行う。数値流束にはRoeのFDSを用いる。空間高次精度化は検査体積内で物理量の勾配を求めて線形分布を仮定することにより二次精度化する。解の非物理的な振動を抑え、安定に計算を行うために勾配に対してリミターを導入する。時間積分には2段階陽解法を用い、定常問題においては収束の加速のため局所時間刻みを用いる。

　解適合格子法は流れ場のモニター、そして格子点の追加、あるいは削除の2つのプロセスから成る。流れのモニターは、密度の二階微分値に基づいて行う。その値に応じて、格子点を追加して要素を細分化するか、あるいは逆に格子点を削除して要素を統合するかを決定する。格子点を追加すべき格子セルをbisectionアルゴリズムによって分割する。この方法は分割すべきセルを構成する辺の中で最大の長さを持つものを見つけ、その辺の中点で要素を分割していくものである。このとき要素の"親子"関係等を記憶しておくことで不要な格子点が生じた場合、要素を統合してしてもとの格子に戻る事が可能となる。

極超音速における衝撃波-衝撃波干渉

　次に衝撃波同士の干渉について考える。計算手順はまず一様流のみを与えて定常解を求めた後、それを初期条件として様々な条件の斜め衝撃波を入射させる。斜め衝撃波背後の条件は、一様流マッハ数と、入射衝撃波の角度のみからRankin-Hugoniotの式により求められる。一様流マッハ数は6.0とする。

　図3(a)-(h)に各入射衝撃波に対して得られたマッハ数の等高線を示す。図中、BS、IS、SLはそれぞれbow shock、入射衝撃波、滑り流を示す。typeIからtypeVまでの各干渉タイプ、およびそれらの間のいくつかの中間的なタイプが示されている。各干渉タイプは入射点付近でbow shock及び入射衝撃波が同じ群に属するか、異なる群に属するか、さらに衝撃波同士が1点で交わるか、あるいはマッハステムが生ずるかによって特徴づけられる。図中、上付添字+はその前後のタイプの中間的な状態であり、これにより各タイプ間の遷移過程を説明することができる。例えば図3(b)-(d)はtypeIIからtypeIIIへの変化を示している。図3(b)、(c)では斜め入射衝撃波の条件は同じであるが、時間と共に干渉形態が変化していく。(b)での明確なtypeIIが、次第に下側の干渉点が弱くなり、定常解としては(c)の状態になる。(c)と(d)では干渉点付近の構造は同じであるが入射衝撃波の条件が異なっており、(d)では入射位置が下方へ移動しているために物体面で新たな衝撃波を生じ、typeIIIに分類される流れとなる。

　次に定量的な評価として、干渉の結果が物体に及ぼす影響を見積もるためにtypeIVに関して粘性を考慮した結果を示す。図4(a)は円表面上での圧力分布である。ほぼ同じ条件下での実験結果を併せて示す。ジェットの衝突により、衝撃波干渉のない場合と比較して非常に大きな圧力ピークが生じる。図4(b)、熱流速についても同様の鋭いピークを示す。最後に図5の模式図に示す三次元的な衝撃波干渉について考える。図6(a)に計算境界及び水平断面内でのマッハ数の面塗りを、図6(b)に水平面内の等高線を上方から見た図を示す。衝撃波の向きは異なるが、断面内で二次元のtypeIV同様の流れ構造になっている。下流においてもこの構造を保ち、図6(a)に示したような円柱周りの三次元的なtypeIV流れが形成される。

　以上、各々の結果をまとめると、衝撃波の三次元反射問題においては反射形態の空間内での連続的な変化が捉えられ、二次元楔との相違点も示された。また衝撃波干渉問題においては各干渉パターンが高解像度で捉えられ、特に各干渉のタイプ間の遷移を説明することができた。三次元衝撃波干渉問題では二次元の解析に基づいて、三次元的なtypeIV流れが明らかにされた。最後に計算機資源について触れておく。ここで示した三次元計算の結果の中で最大の計算格子点数は約120万点、必要とした計算機メモリは約1.2GBであった。そこでの最小格子幅で計算領域の全てを分割した場合、約20倍のメモリを必要とすることになり、本研究で開発した手法が詳細な現象の解明に有効であることが示された。

図1.二次元楔による衝撃波の反射(Ms＝3.5)図2.迎角を持った円錐による衝撃波の反射(Ms＝3.5)図3.各干渉パターンのマッハ数の等高線図4.typeIVにおける表面上の圧力分布及び熱流束分布図5.三次元干渉流れの模式図図6.マッハ数分布

　修士(工学)宮路幸二提出の論文は"Numerical Analysis of Shock Wave Reflection and Interaction Using Unstructured Solution Adaptive Grids(和訳:解適合非構造格子による衝撃波の反射・干渉の数値解析)"と題し、英文で書かれ、本文7章からなっている。

　衝撃波に関する研究は過去に数多く行われてきたが、楔による平面衝撃波の反射、及び二次元的な衝撃波同士の干渉は系統的に研究が行われてきた問題である。本論文は数値シミュレーションにより衝撃波問題に対する解析を行い、特にこれまで研究がなされてこなかった三次元問題に着目したものである。

　計測時間の短さ、可視化の困難さという実験に伴う問題は、数値計算においては存在しないが、一方で計算機メモリ容量の制約を受ける。今日のスーパーコンピュータをもってしても、特に三次元問題においては全領域において十分に細かい格子を用いることはできない。そこで本論文では、衝撃波などの不連続付近でのみ細かい格子を用いる解適合非構造格子法を用いた。本手法を用いることにより、メモリ使用量の増加を抑えつつ、従来の手法では得られなかった解像度で衝撃波を捉えることができ、以下に示すように衝撃波の反射、干渉流れの構造に関していくつかの新たな現象が捉えられた。

　第1章は序論であり、衝撃波の反射、干渉問題に対する過去の研究の概略、及び数値計算によりこれらの問題を解析するときの問題点について論じている。

　第2章では数値計算に用いられる支配方程式を示している。

　第3章では、二次元領域を三角形セルで、三次元領域を四面体セルで分割するための計算格子生成法の説明を行っている。

　第4章では流体の数値計算手法と共に、解適合格子の説明を行った。本論文では格子を細分化する場合、計算セルを構成する最大長さの辺の中点でセルを二分割するbisectionアルゴリズムを用いている。今までに提案されたアルゴリズムでは流体の計算に用いられない計算セルも記憶するために多くのメモリを要したが、本論文ではセルの"親子"関係等を記憶しておくことで、全ての計算セルを有効なものとする手法を提案し、メモリ使用量を約35%減少させることに成功している。

　第5章、及び第6章では計算結果を示し、考察を行っている。まず第5章は衝撃波の反射問題に対する結果である。ここでは本手法を用いた二次元反射の結果が従来の研究結果と一致することを示した上で、これまでにほとんど研究のなされていない三次元反射問題を設定して、対応する二次元問題の結果との比較を行った。二次元問題として、入射衝撃波の進行方向に対して傾き角を持った楔による反射を考えた。これに対応する三次元問題として迎角を持った円錐面による反射を考えた。入射衝撃波マッハ数は2ケースを設定した。過去の二次元反射の研究により、これらの条件下では楔上面と下面でそれぞれ異なる反射形態が生ずることが分かっているが、本計算でもそのような結果が得られた。対応する三次元計算では、円錐面上で複数の反射形態が同時に現れ、円錐下面から上面に向かって、空間的に連続的な反射形態の変化が捉えられた。また反射面上の圧力分布の比較により、三次元反射の方が二次元反射よりも反射衝撃波が弱く、その効果は円錐側面(水平面)付近ほど大きくなることが明らかになった。その結果、側面付近では反射形態が同一断面形の二次元楔と異なる場合があることも示された。

　第6章で衝撃波の干渉問題に対する結果を示している。二次元衝撃波干渉問題ではEdneyの実験によって、typeIからtypeVIまでの6タイプが得られることが知られている。ここでもまず二次元問題として、円柱前方の弓形衝撃波と平面衝撃波の干渉を考えた。入射位置、及び入射角の異なる6つの条件の入射衝撃波に対して、typeI、typeII⁺、typeIII、typeIV、typeIV⁺、typeV⁺が定常解として得られた。ここで添字+はその前後のタイプの中間的な状態である。様々な入射条件を試みたが、純粋なtypeII、typeV、typeVIの定常解は得られなかった。円柱と楔から生ずる衝撃波同士の干渉においてはこれら3タイプの現れる領域が非常に狭いと考えられる。またtypeIVに関して行った粘性計算により、干渉の結果、非常に大きな圧力及び熱流束のピークが生じることが示され、実験結果とも適正な一致をみた。最後に三次元的な衝撃波干渉について考察した。円柱の軸方向に流れ成分を生じるような平面斜め衝撃波を入射させた結果、衝撃波の向きは異なるものの、澱み線断面内で二次元のtypeIV同様の流れパターンが得られた。下流においてもこのパターンが保たれることが示された。

　最後の第7章では本論文全体の結論を述べている。

　以上要するに、本論文では二次元及び三次元における衝撃波を現実的な計算機メモリの範囲内で高解像度に捉えるための手法を開発し、従来不可能であった三次的衝撃波流れの数値解析の可能性を示し、航空宇宙工学上の貢献が大きい。

　よって本論文は博士(工学)の学位請求論文として合格と認められる。