2階の微分作用素

　を含む可換な微分作用素環の構成および分類は、数理物理学や表現論の立場から多くの研究がなされている。Calogero-Moser-Sutherland模型や戸田格子などは、このような環の例を与えている([OP1],[OP2])。また他の例として、リーマン対称空間上の不変微分作用素の動径成分のなす環があるが、これを一般化するために、大島利雄、関口英子両氏はワイル群Wで不変な微分作用素の可換族を次の公理系を満たすものとして定義した。

　Wをワイル群とすると、Wは自然にとその複素化に作用する。Cを以下の条件を満たす微分作用素のなす環とする:

　(C1)Cの元は0∈を満たすのW-不変な連結開部分集合上の正則微分作用素である。

　(C2)Cの元は互いに可換である。

　(C3)Cの元はW_-不変で、その主シンボルは座標{x_i}について定数である。

　(C4)Cには2階の微分作用素が含まれる。

　(C5)Cの元の主シンボル達はを生成する。

　彼らと落合啓之氏は、Wが古典型ワイル群の場合に、ポテンシャル函数R(x)を分類し、またこの族の高階の生成元を具体的に構成した([OS],[OOS]参照)。をWに対応するreducedルート系とし、⁺をのある正系とする。彼らによれば、R(x)は、任意の∈とw∈Wに対してを満たす函数を用いて

　と表される。さらに(t)は楕円函数、三角函数、または有理函数で表され、その分類がなされている。例えばWがA_n-1-型、つまりn次対称群のときにはC₁,C₂を任意の複素定数として(t)＝C₁(t)+C₂とWeierstrassの楕円函数を用いて表される。ここで楕円函数の2つの周期の無限大への極限をとれば、三角函数の場合と有理函数の場合が得られる。

　このようにして得られたと可換な微分作用素として既に知られているものは多くはなく、またそれらは可換族Cに含まれている。では逆にこのHから出発して、ワイル群不変性や主シンボルの定数係数性などの条件を課さずに可換な微分作用素の環を構成したとき、落合-大島-関口の構成したものと異なる環が存在するであろうか。そこで本論文では、ポテンシャル函数R(x)として落合-大島-関口の分類に現れるものをもつ2階の微分作用素Hを考え、いかなる微分作用素PがHと可換であるかを論じる。ここで上述したようにPとしてはW-不変性などの強い条件は課さず、可微分性など最低限の条件のみを課す。

　議論の展開はポテンシャル函数が周期函数、つまり三角函数や楕円函数、の場合と有理函数の場合とで大きく異なる。本論文第四節では周期函数ポテンシャルの場合が論じられ、第五節では有理函数ポテンシャルの場合が論じられる。

　周期函数ポテンシャルの場合の主定理は以下の通りである(Theorem4.4)。

　実rankが1より大きいRiemann対称空間の帯球関数が満たす不変微分方程式系の動径成分は、多変数の超幾何微分方程式の代表例と考えられる。それに含まれるパラメータは、ルートの重複度などのため、特殊値しか取らないが、A型の場合は関口(次郎)により、一般の場合はHeckman-Opdamにより、パラメータの連続化がなされて、Heckman-Opdamの超幾何微分方程式と呼ばれ、解に関する研究など現在研究が盛んである。

　このうちでLaplace-Beltrami作用素に対応するものは

　$112909f22.gif$

　の形をしており、Heckman-Opdamの微分作用素は、互いに可換であるので、Shorodinger作用素Hが完全積分可能であることを言っている。

　一方、Calogero-Moser-Sutherland系に始まって、数理物理の立場から完全積分可能な量子系の研究が行われてきたが、完全積分可能なShoodinger作用素Hは、ルート系に付随して構成がなされてきた、という歴史がある。また、一般にV(x)は、楕円関数、あるいはそれが退化した三角関数や有理関数で表すことができると考えられてきた。

　落合-大島-関口(英子)は、古典型Weyl群Wで不変な一般の完全積分可能量子系を研究し、以下の(C1)-(C2)を満たすShorodinger作用素Hをすべて分類して、V(x)をWeierstarssの楕円関数で具体的に表した。

　Wはに自然に作用するA_n-1,B_nまたはD_n型Weyl群とする。

　(C1)互いに可換なn個の上のW-不変微分作用素P₁,…,P_nが存在し、Hはそれらが生成する環に含まれる。

　(C2)P_jの最高階の部分は定数係数で、それらは定数係数のW-不変微分作用素全体のなす環を生成する。P_jの係数は、原点を含むある連結複素開近傍のZariski開部分集合上に正則に拡張される。

　さらに、各P_jが形式的自己共役という条件のもとで、HからP₁,…,P_nの生成する環が本質的に一意に定まることを示し、各P_jの具体型を与えた。

　これに対し、谷口健二は提出論文において、上で分類されたShorodinger作用素Hと可換な微分作用素の研究を行い、2つの重要な結果を得た。

　定理1.Hのポテンシャル関数が、有理関数に退化していない、すなわち、非自明な周期関数で表されているとする。Hの定義域の連結開集合で定義されたHと可換な微分作用素Pは、A_n-1またはD_n型のときn階以下、B_n型のとき2n階以下ならば、P₁,…,P_nで生成する環に含まれる。

　この定理の証明は、Pの最高階から2階下の項までを、具体的な積分を行って決定し、ポテンシャル関数の極における留数を調べることによって、最高階の部分がW-不変になることを示す、という方法でなされた。

　「Hの積分は、P₁,…,P_nで生成されるか」という問題に対し、階数については技術的な理由からの制限付きではあるが、肯定的な結論を得た。

　一方、有理的なV(x)については事情が異なり、次が示されている。

　定理2.WがA_n-1型で、V(x)が有理関数、すなわち、

　$112909f23.gif$

　とする。k次対称式q0(x)に対しQ_j＝(adH)^jq0(x)(j＝1,2,…)によって定まる微分作用素$112909f24.gif$は、Hと可換になる。特にHと可換な2階以下の微分作用素は、このQの形で具体的に表せる。

　この定理2によって、A_n-1型で自己共役性の仮定を落とした場合にも、(C1)-(C2)を満たすP_jを決定することができ、n＝3では新しいものが現れるが、n>3では分類されたものに限ることが示される。

　Hの積分を、上記のQのような形で具体的に与えたことは、今までにない注目すべき結果であり、「積分が全てこのような形で書けるか?」ということや、「この結果のA型以外への拡張は正しいのかどうか?」など、今後の研究の発展の指針も与えている点でも高く評価できる。

　よって、本論文提出者谷口健二は博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める。