区間置換写像というのは[0,1)あるいはS¹上の方向を保つ,不連続点を高々有限個のみ持つような等長写像である.区間置換写像Tが無理数回転と共役であるとは,ある区間置換写像Sと無理数が存在して,T＝S^-1になることである.MasurとVeechの定理により,ほとんどすべての区間置換写像がuniquely ergodicである.しかし,実際に与えられた区間置換写像はuniquely ergodicであるかどうかという問題はそれほど簡単ではない.無理数回転は最も簡単なuniquely ergodicな例である.お互いに共役な区間置換写像は同じ力学系の性質を持っているので,与えられた区間置換写像が無理数回転と共役であるかどうかの判定方法が見つかれば面白いと思う.われわれが発見したのは,もしTの十分大きいiterationの不連続点の数が変わらないとすると,Tが無理数回転に共役であるという事実である.正確に述べるために,まずいくつかの記号を定義する.Tの不連続点を₁,…,_m-1とし,d(T)をその数とする.

　∧(T)はD(T)の部分集合と見ることもある.(A,x,B)∈(T)のときにx∈(T)と書く.xとBが1対1に対応するので,混乱は起こらない.次の定理は第1節の主定理である.

　定理1.3.m個の区間を持つ区間置換写像Tが無理数回転と共役であるための必要十分条件は次である:任意のn∈Nに対してTⁿが極小で,かつ自然数kと大きい自然数M(例えばより大きい)があって,を満たす.ただし,.

　定理1.3を証明する前にまず次の定理を証明する.

　定理1.4.区間置換写像Tが極小で,d(T)＝d(T²),(T)∩(T)＝,(T^-1)∩(T^-1)＝ならば,Tは無理数回転と共役である.

　定理1.4の証明は次の補題からでる.

　定義1.5.(A,x,B)∈(T)とする.ただしA≠0,B≠1とする.xがremovableというのは次のいずれかを満たすときをいう.

　(1)A<B

　(2)A>B,かつC∈(T)が存在して,A>C>B.

　補題1.4.区間置換写像Tが極小かつd(T)＝d(T²),(T)∩(T)＝,(T^-1)∩(T^-1)＝を満たすとする.x∈(T)がremovableならば,区間置換写像Sが存在して,d(STS^-1)<d(T)であり,かつSTS^-1も補題の条件を満たす.

　区間置換写像は曲面上の面積を保つ流れの研究と深い関連がある.流れがLebesgue測度を保つとき,曲面上にある閉じた曲線が存在して,それに対するPoincare写像は区間置換写像になる.逆に,ひとつの区間置換写像が与えられたとき,ある閉曲面およびその上の流れが作られて,ある曲線に対してのPoincare写像は元の区間置換写像と一致する.われわれは流れの回転集合(あるいはasymptotic cycle集合)に興味をもつ.トーラスの任意の連続の流れに対して,Franksはその流れの回転集合の次元は1に過ぎないことを証明した.しかも次元が1になる非自明な例も作った.種数がgの曲面に対して,Katokはその上の面積を保つ流れの回転集合はg次元に過ぎないことを証明した.Sataevによるその流れについての不変なergodic測度の数の評価を用いて,次のことは容易に分かる.

　系2.1.任意のgに対して,種数gの曲面上位相推移的な面積を保つ流れが存在して,その流れの回転集合の次元はgである.

　第2節の議論からわかるように区間置換が与えられたとき,それを幾何的に実現すると曲面とその上の流れが作られる.このアイデアを一般化して,次のことが分かる.トーラスの基本群からIEへの準同型が与えられたときに,あるコンパクト3次元多様体と余次元1の特異点を持つfoliationがあって,そのfoliationのholonomy群は準同型の像と一致する.正確には,

　定理3.1.T₁,T₂は区間置換写像でT₁oT₂＝T₂oT₁を満たすとするとき,コンパクト3次元多様体Mと閉曲面₁,₂かつ埋め込みi₁:₁→M,i₂:₂→Mがあって,i₁(₁)∩i₂(₂)はS¹になる.しかもM上の余次元1の特異点を持つfoliationがあって,はT_jにより定まるfoliationである.j＝1,2.

　定理3.1に作られたfoliationの構造とその多様体の位相の関係を考えると,よく知られているPlanteの定理を使って次の定理が分かる.

　定理3.3.(M,)は定理3.1のものとする.Lはの中のleafとする.Lは多項式の増大度を持ち,その指数はmax{0,b₁(M)-1}で抑えられる、ただし,b₁(M)はMの第1betti数である.