ランダムポテンシャル中の-電子状態を考える。系のランダムネスが小さいときは、電子の状態は本質的にブロッホ状態であるが、ランダムネスを大きくしていくと、電子は系全体に広がることができなくなって局在する。こうした系の乱れによる電子状態の転移が存在し、局在・非局在転移と呼ばれる。場の理論によれば、局在・非局在転移は系のもつ基本的な対称性によって、オーソゴナル、ユニタリー、シンプレクティックの三つのユニバーサリティ・クラスに分けられる。このユニバーサリティ・クラスの分類は、電子波の干渉の違いに現われ、特に弱局在領域(ランダムネスの弱い領域)の理解において本質的であった。ところが、最近の三次元系に対する数値計算からは、ユニバーサリティ・クラスを特徴付けるはずの臨界指数がこの三つの場合でほとんど違わない。このことから逆に、局在・非局在転移に三つのユニバーサリティ・クラスがあることに懐疑的な主張もなされている。

　一方二次元であっても、量子ホール系(ユニタリークラス)、およびシンプレクティック系(スピン軌道散乱が大きく、磁場のかかっていない系)では局在・非局在転移が存在することが知られている。量子ホール系は特によく調べられており、様々なモデルで局在長の臨界指数が2.3〜2.4であることが確立されている。しかし二次元シンプレクティック系については研究が少なく、の値も収束していない。以上のような流れを受けて本研究では、シンプレクティック対称性を持つ転送行列を構成要素にした2次元のネットワークを構成して、二次元シンプレクティック系の局在・非局在転移を数値的に研究した。このモデルは転送行列によって定義され、従来研究されているハミルトニアンを基にしたモデルと相補的な関係にある。また、2次元量子ホール系の局在・非局在転移を良く記述するChalker-Coddingtonネットワークモデルのシンプレクティック系版に相当するモデルと言える。このように、従来とは異なるモデルを通して、二次元で量子ホール系とシンプレクティック系で指数が異なるのか、異ならないのかを調べる意義は大きい。

　図1のような、ノードとリンクよりなる二次元ネットワークを考える。最近接のノード間はリンクで双方向につながっていて、スピンの自由度も運ぶものとする。

　各ノード(図2)部分にそれぞれ8×8の、シンプレクティック対称性を持つ転送行列を割り当てる:

　ここでA_i,B_iはカレント密度で、∧＝diag(₁,₁,₂,₂),K_c＝diag(-i_y,-i_y)である。_1,2は動径パラメータと呼ばれる変数で、非負の実数をとる。はuと同じ形でをしたユニタリー行列で、位相を_1…4,_1…4としたもの。位相,,,はランダム変数で、[0,2)の一様乱数にとった。また、全体を二次元的につなげるため、図1の(B)のノードの転送行列は(A)のノードを/2回転して与えることにした。入,の与え方はいろいろ考えられるが、本研究においては次の二つの場合を取り上げた。

　ケースI 位相にのみランダムネスを導入したケース。位相_i,_i,_i,_iは各々独立に[0,2)の間の一様分布し、実空間、スピン空間での結合を与える、_sは/4に固定した。動径パラメータ₁,₂は等しくとって、この値を変化させて局在・非局在転移を調べる。

　ケースII 位相だけではなく、動径パラメータ_1,2にもランダムネスを導入したケース。位相はケースIと同様に[0,2)の間の一様分布にとり、動径パラメータを

　と書いて、Vを各ノードごとおよび_1,2で独立とし、の間の一様分布に従うようにした。実際の計算はとして行なった。また、についても/4のまわりで小さく揺らがせことにし、[/4-0.1,/4+0.1]の間の一様分布にとった。

図1:シンプレクティック・ネットワーク

図2:シンプレクティック・ネットワークモデルを構成するノード

　このケースについて横方向の全体の転送行列のリャプノフ指数を計算し、縦方向の幅(ノード数)Mによる有限サイズスケーリングにより解析した。計算は幅Mの系の局在長_Mの誤差が1%以下になるように横方向の長さLをとり(実際にはL＝5〜8×10⁵とした)、_MをMでスケールした無次元量A＝_M/Mをスケーリング変数にとった。

　ケースIでのパラメータを変化させたときのスケーリング変数Aの変化の様子を各サイズごとにプロットしたものが図3である(ケースI)。横軸を、つまり-ノードのコンダクタンスにとった。異なるサイズでの曲線がglocal〜2.0のところで一点で交わり、局在・非局在転移が存在することが分かる。この計算データを1パラメータスケーリング関係式

　に合わせて解析しフィットした結果、

　ケースI: ＝2.88±0.15,∧＝2.009±0.010 (＝0.1584±0.0008)

　ケースII: ＝2.85±0.10,∧＝2.067±0.006 (＝0.1540±0.0005)

　が得られた。ここでは転移点直上での相関関数の減衰を表す指数で、転移を特徴付けるものであり、二次元においては転移点での∧の値∧_cと＝1/(∧_c)で関連付けられる。

図3:スケーリング変数の変化(ケースI)

　このように、異なるランダムネスの与え方をしたケースI、IIでほぼ一致している。また、スケーリング関数は図4のようになり、両者でほとんど違わないことが分かる。

図4:スケーリング曲線(ケースI、II)

　以上のように、本研究で構成した二次元シンプレクティック・ネットワークモデルには局在・非局在転移が存在し、局在長の臨界指数はほぼ2.9であることが示された。これはタイトバインディングハミルトニアンで解析されている値2.75±0.15と誤差の範囲で一致しており、量子ホール系の指数2.3〜2.4とは明確に異なる。つまり、少なくとも二次元においては場の理論が予想するように、局在・非局在転移は(系のランダムネスが弱いときの)系の対称性に依るユニバーサリティクラスに分類されることが結論される。

　三次元以上の系のランダムポテンシャル中の電子では、ランダムネスの強さを変化させることにより系全体に広がった状態と空間的に局在した状態の間の転移が見られる。この転移は局在・非局在転移と呼ばれ、系の基本的な対称性によって三つのユニバーサリティ・クラスに分類されると従来考えられてきた。しかしそれに反して、最近の三次元系の数値計算では転移を特徴付ける臨界指数が三つのユニバーサリティ・クラスの場合でほとんど違わないことが指摘された。一方、二次元であっても量子ホール系、およびシンプレクティック系(スピン軌道散乱が大きく磁場のかかっていない系)には局在・非局在転移が存在するため、この両者でも臨界指数が一致するのか興味が持たれている。量子ホール系では局在長に対する臨界指数が2.3から2.4であることが数値計算の結果として確立されているが、シンプレクティック系については研究が少なく臨界指数の値も一致を見ていない。この博士論文では、一つ一つがシンプレクティック対称性を持つ転送行列を構成要素とした二次元のネットワーク模型を構成して、二次元シンプレクティック系の局在・非局在転移を数値的に研究した。このモデルは従来研究されているタイトバインディングハミルトニアンに基づくモデルと相補的な関係にあるが、有限サイズスケーリングに対する補正が小さく数値的研究に有利な利点を持っている。物理的には金属微粒子が弱く結合したネットワークの模型であり、また2次元量子ホール系のChalker-Coddingtonモデルのシンプレクティック系版に相当する模型と言える。従来とは異なる新しいモデルを通して、臨界指数を計算する意義は大きいと評価される。この博士論文では、全体の転送行列からそのリャプノフ指数を計算し、有限サイズスケーリングの方法により局在長に対する臨界指数の解析に成功し、異なるランダムネスの与え方をした二つの場合についても、どちらの場合も臨界指数としてほぼ2.9という結果が得られ、スケーリング関数も両者で一致することが示された。これはタイトバインディングハミルトニアンで解析されている研究の一つとも誤差の範囲で一致し、量子ホール系の属するユニバーサリティ・クラスの臨界指数とは明確に異なると結論付けられた。すなわち、少なくとも二次元においては局在・非局在転移は系の対称性に依るユニバーサリティ・クラスに分類されることが結論された。

　以上の様に、本論文は極めて精度良く二次元シンプレクティック系での局在・非局在転移の局在長に対する臨界指数を数値的に求める研究を行なったもので、重要な結論が得られたものである。充分な内容、結果を備えたものとして博士論文として合格と認める。