1次元ハバード模型では、Lieb-Mattisの定理により、強磁性状態は実現しないことが知られているが、梯子ハバード模型では、強磁性状態が有限のホール濃度で実現し得ることを解析的、数値的手法を用いて示すことができた。まず、U＝+∞梯子ハバード模型について、鎖間ホッピングt_⊥が鎖内ホッピングtに比べて大きな極限(t_⊥/t→∞)を調べる。電子密度n0.5(1/4フィリング以下)では、梯子模型のt²/t_⊥のオーダーまでの有効模型が、U→+∞ハバード鎖のt²/Uまでのオーダーの有効模型と一致することが示せるので、t_⊥/tが大きな極限では、偶数電子系で基底状態がスピン-重項になることが分かった。一方、電子密度n>0.5に関しては、Perron-Frobeniusの定理を用い、tに関して1次オーダーのまでの有効模型が強磁性基底状態をもつことを厳密に示すことができた。以上より、t_⊥/tが大きな極限でのU＝+∞梯子ハバード模型の基底状態が、n0.5では、スピン-重項になり、n>0.5では、強磁性状態になることが分かった。有限のt_⊥/tの基底状態については、密度行列繰り込み群(DMRG)法という数値計算方法を用いて調べた。その結果、図1(a)に示すように、有限のt_⊥/tでも、強磁性状態が基底状態になり得ることが分かった。また、t_⊥/tが大きな方が、強磁性状態が安定であることも、この図から推測される。さらに、梯子t-J模型についても同様な計算をしたところ、反強磁性的相互作用Jを導入しても、不完全強磁性状態が有限の領域で存在することも、DMRG法の精度の範囲内で確かめることができた。

　U＝+∞梯子ハバード模型の1/4フィリングについて、t_⊥が大きな極限では、2t_⊥の大きさの電荷ギャップが開くが、この電荷ギャップは、t_⊥を小さくしたときに、どのように振る舞うのだろうか。また、電荷ギャップがなくなるt_⊥の大きさはどのくらいなのだろうか。これらの点を明らかにするために、DMRG法を用いて調べたところ、図1(b)に示すような結果が得られた。この図から、弱相関の場合にギャップレスであった領域(t_⊥/t1)でも、電荷ギャップが開いていることが分かる。次に、ギャップがなくなるt_⊥/tを求めるために、基底状態のスペクトラルフローの振る舞いを調べた。その結果、t_⊥/t＝0.001で既に絶縁体であることを数値的に示すことができた。U＝+∞という特殊性を考慮すると、t_⊥/t≠0では、任意のt_⊥/tで絶縁体であることが推測される。ここで、これらU＝+∞の性質をUが小さい場合と比較する。Uが小さいときには、有効的に結合バンドと反結合バンドで記述されるので、t_⊥/t>1の1/4フィリングでは、1次元ハバード模型と同じ金属-絶縁体転移が起こり、電荷ギャップの大きさは、Uが小さいところでは、指数関数的に小さいことが知られている。一方、U＝+∞でt_⊥が大きなときも、1次元ハバード模型との対応がつくので、この場合にも同様な金属-絶縁体転移が起こることが期待される。しかし、上で調べたように、U＝+∞梯子ハバード模型では、鎖間ホッピングt_⊥を相互作用Uと見なすような1次元ハバード模型に対応しているので、金属-絶縁体転移を引き起こす主な原因は、弱相関領域と強相関領域では、異なっていると思われる。つまり、弱相関領域では、結合バンド内でのUによる金属-絶縁体転移とみなせるのに対し、強相関領域では、バンド間のt_⊥による金属-絶縁体転移とみなすことができると考えられる。

図2(a)2次元スピンXXZ模型の磁化曲線。異方性パラメータ＝2。H_maxとM_maxは、それぞれ、飽和磁場と磁化の最大値を表す。縦線は、XY相とネール相との共存線を表す。(b)2次元、3次元のスピンXXZ模型の磁化の跳びM_s。イジング模型の場合は、M_s/M_max＝1である。

イジング異方性をもつスピンXXZ模型の磁化過程。

　1次元の場合には、磁場Hに対して磁化Mがのように振る舞い、2次の相転移であることが知られている。これに対し、無限次元で正当化されるような古典スピン系の場合には、スピンフロップと呼ばれる1次相転移を起こすことが知られている。それでは、2次元、3次元ではどのような相転移が起きるのだろうか。そこで、この論文では、2次元、3次元のイジング異方性をもつスピンXXZ模型の磁化過程について、数値的に調べた結果を報告する。数値計算方法は、クラスターアルゴリズムという量子モンテカルロ法と厳密対角化法を用いた。数値計算の結果、図2(a)に示すような磁化曲線が得られた。この図から明らかなように、2次元のイジング異方性をもつスピンXXZ模型は、1次相転移を起こすことが分かった。さらに、この1次転移における磁化の跳びM_sの異方性パラメータ依存性を調べたところ、図2(b)に示すような結果が得られた。異方性パラメータは、＝1がSU(2)ハイゼンベルグ模型、→∞がイジング異方性が大きな極限に対応している。この図から、>1では1次相転移を起こすことが分かり、また、イジング極限とイジング模型の場合とでは、磁化の跳びの大きさが有意に異なっているということも分かった。このことは、→∞での摂動を考えると理解できる。つまり、2次元以上の場合は、磁化が大きなところでは、⁰のオーダーの摂動が存在するが、磁化がゼロ付近では、^-1のオーダーが最低次の摂動になっているからである。このことは、量子揺らぎがあるときには、イジング極限での磁化の跳びが、イジング模型の場合よりも小さくなることを意味している。実際、数値的に→∞での磁化の跳びM_s(→∞)を評価すると、図3のようになる。1次元では、2次相転移であるため、M_s(→∞)＝0であるが、2次元、3次元、…と次元を上げていくと、M_s(→∞)は次第に増大し、無限次元でイジング模型のもの(M_s＝M_max)と一致することが分かる。以上のことから、対応する拡張引力ハバード模型(U→-∞)について、有限次元では、近接サイト間斥力がどんなに大きくても、均一な超伝導状態が、有限の低電子密度領域で存在することが分かった。また、2次元、3次元では、この模型のハーフフィリングでの超伝導-絶縁体転移は1次転移であることも分かった。

図3(a)イジング極限(→∞)での1次の摂動エネルギー。直線は、マクスウェル構築によって決めたXY相とネール相との共存線を表す。(b)イジング極限での磁化の跳びM_s。dは空間次元を表す。

　論文の主な結果は以下のものである。(i)バイパータイトのハバード模型の有限ホール濃度で、強磁性基底状態が実現し得ることを、解析的、数値的手法を用いて例証した。(ii)U＝∞梯子ハバード模型の1/4フィリングでの基底状態は、|t_⊥/t|0.001のときに絶縁体であることを数値的に示すことができた。(おそらく、t_⊥/t＝0を除くすべてのt_⊥/tで絶縁体であると推測される。)(iii)イジング異方性をもつスピンXXZ模型の磁化過程は、2次元、3次元では1次転移であることを数値的に確かめることができた。(iv)有限次元では、イジング異方性が大きな極限での磁化の跳びは、イジング模型のものとは有限の大きさの違いがあることが分かった。

　以上、強相関電子系の基本的な現象として、遍歴強磁性、金属-絶縁体転移、超伝導-絶縁体転移を取り上げて考察した。それぞれの問題について、強相関極限での簡単化した模型を扱ってきたが、その結果は、様々な強相関系に共通するいくつかの側面を表していると考えている。なぜならば、U＝∞ハバード模型やスピンXXZ模型は、様々な模型の強相関極限とみなすことができるからである。例えば、U＝∞ハバード模型は、近藤カップリングJ_Kが大きな極限での近藤格子模型とみなすこともでき、また、スピンXXZ模型は、拡張ボゾンハバード模型のオンサイト斥力の大きな極限ともみなすことができる。