円周から円周への向きを保つ同相写像に対してPoincareはその写像による点の平均移動距離を表す位相不変量である回転数(rotation number)を定義したが、Newhouse-Palis-Takensはこの定義を拡張して円周上の写像度1の連続写像に対して回転集合(rotationset)を定義した。その後、n次元トーラス上の恒等写像にホモトピックな連続写像に対してKim,Mackey and Guckenheimer,Llible and Mackeyなどにより種々の回転集合が定義され、Misiurewicz and Ziemianは、系統的にこれらを整理した。1992年にはFranksとPollicottが独立に、種数が2以上の曲面に対して回転集合を定義したが、これら2つは定義が若干違っていた。これらすべての回転集合は恒等写像にホモトピックな写像に対して定義されたものであった。しかし回転集合は、定義によれば、多様体上の各点が写像によりどれだけ動くかをホモロジー的に計るものである。この論文では、写像のクラスを、1次元ホモロジー群へ誘導する同型写像が恒等写像となるような同相写像にまで広げて回転集合を新たに定義した。

　一方、同相写像の力学系の研究を記号力学系の言葉に言い換えて、もとの写像の力学系の研究をする方法がある。記号力学系(_A,)とは、有限個のアルファベットからなるアルファベット集合K＝{1,2,…,m}をとり、＝K^Zとして、の各点を各桁がKの成分からなる両側無限列で表し、上の写像として、シフト写像、すなわち無限列の座標を左に1つずらすというものを考えるものである。このとき、不変な点列の集合_Aを考えた(_A,)が記号力学系である。閉多様体M上の力学系(M,f)を記号力学系(_A,)で表現するには、Mをマルコフ分割と呼ばれる有限個の長方形R₁,R₂,…,R_mに分割し、任意の整数nに対してfⁿ(x)∈R_iのとき_n＝i(ただし、a_k∈{1,2,…,m})と定義して、点xのfの反復による挙動を両側無限列…,_-2,_-1,₀,₁,₂,…で表現すれば良い。マルコフ分割は、Adler and Weissによって初めて2次元トーラスのアノソフ可微分同相写像に対する例が構成され、Sinaiにより一般のアノソフ可微分同相写像のマルコフ分割が系統的に定義された。また、Bowenは、Sinaiの方法を拡張し、公理A系に対して、非遊走集合を有限個の基本集合に分割し、その各基本集合上でマルコフ分割を構成した。Thurstonは擬アノソフ可微分同相写像に対するマルコフ分割を構成した。

　この論文では新たな回転集合の定義のもとで、多様体Mと同相写像fの対(M,f)がマルコフ分割Rを持つとき、Rと回転集合を関係づけ、回転集合を計算するアルゴリズムを与え、それを利用して1次元ホモロジー群へ誘導する同型写像が恒等写像となるような同相写像の回転集合が凸多面体になることを証明した。

　Mを閉多様体、f:M→Mを同相写像で1次元ホモロジー群H₁(M;Z)へ誘導する同型写像f_*が恒等写像であるもの(以下ホモロジー自明という)、(,p,M)を可換被覆空間のうち最大のものとする。この最大可換被覆空間上の被覆変換群D(,p,M)は、Mの整数係数1次元ホモロジー群H₁(M;Z)と同型になり、自然に同一視できる。また、fがホモロジー自明であることから、被覆変換群D(,p,M)の任意の元hはfのへの任意の持ち上げFと可換になる。さらに、上の任意の閉曲線は、pによりM上の零ホモローグな閉曲線に写される。(M,f)の回転集合の定義は以下のようにする。

　M上に基点Oをとる。fのへの持ち上げの1つをF:→とする。xのへの持ち上げの1つをとする。に一番近いp^-1(O)の点()と、Fⁿ()に一番近いp^-1(O)の点(Fⁿ())を結ぶ上の曲線のpによる像はM上の閉曲線になるが、これをh_n(x,f,F,O)とする。この閉曲線の1次元ホモロジー類を[h_n(x,f,F,O)]とかく。(,p,M)の性質から、[h_n(x,f,F,O)]は()と(Fⁿ())にのみ依存し、この2点の結び方にはよらない。このとき、が収束する場合には、この値は基点Oの取り方によらないことが分かり、この値を(x,f,F)とかき、xの回転ベクトルという。(x,f,F)はH₁(M;R)の元である。回転集合Rot(f,F)を{(x,f,F)|x∈M}で定義すると、これは実係数1次元ホモロジー群の部分集合になる。Fと異なるfの持ち上げF’をとったとき、となるH₁(M;Z)の元(F,F’)がxによらず一意に定まり、このことから、回転ベクトルおよび回転集合は、持ち上げの取り方によりH₁(M;Z)の元の平行移動分の任意性がある事が分かる。この平行移動分の任意性を同一視したものの同値類{(x,f,F)|Fはfの持ち上げ}および{Rot(f,F)|Fはfの持ち上げ}をそれぞれ(x,f)およびRot(f)とかき、これらもそれぞれ回転ベクトルおよび回転集合とよぶ。

　M上にf-不変な測度が存在する場合、平均回転べクトルをで定義する。Birkhoffのエルゴード定理から、平均回転ベクトルは測度に関してほとんどいたるxについて存在する。同値類をとかき、この同値類も平均回転ベクトルという。平均回転ベクトルには、以下のような特徴がある。

　命題(エルゴード定理)

　平均回転ベクトルはと表される。

　つまり、平均回転ベクトルは、2点xとf(x)のへの持ち上げ、とF()にのみ依存する。この命題を用いると、次の定理を示すことができる。

　定理 f,gをM上のホモロジー自明な同相写像とし、共通な不変測度を持つものとする。このときfとgの合成写像に対する平均回転ベクトルは、と一致する。

　この定理は、種数が2以上の閉曲面についてのFranksの定理の拡張になっている。

　(M,f)がマルコフ分割R＝{R₁,R₂,…,R_m}を持つとき、任意の整数nに対してfⁿ(x)∈R_iのとき_n＝i(ただし、_k∈{1,2,…,m})と定義すると、点xのfの反復による挙動は両側無限列…,_-2,_-1,₀,₁,₂,…と表される。Mのマルコフ分割はに持ち上げることができ、長方形R_i,R_jの持ち上げで、F()∩≠0なる,を取ることができる。この長方形,の内点Int,Int上に代表点_i,_jをとり、これらの点に最も近いp^-1(O)の点をそれぞれ(_i)と(_j)とする。この2点を結ぶ曲線のpによる像はM上の閉曲線となる。この閉曲線を_ijとかき、この閉曲線の1次元ホモロジー類を[_ij]と書く。(,p,M)の性質から、[_ij]は(_i)と(_j)にのみ依存し、この2点のつなぎ方にはよらない。一方、回転ベクトルを定義したM上の閉曲線h_n(x,f,F,O)は、始点を()、終点を(Fⁿ())とする上の曲線のpによる像であった。h_n(x,f,F,O)は、ととを結ぶ曲線A_nのpによる像で近似でき、p(A_n)のホモロジー類は、閉曲線の連結和のホモロジー類と一致する。このことから、以下の定理が成り立つことがわかる。

　定理 ホモロジー自明な同相写像fの回転ベクトル(x,f)は、

　と表される。

　M上の点xを記号力学系(_A,)の点…,_-2,_-1,₀,₁,₂,…で表したとき、長さ2の部分列-(_i,_i+1)を1次元ホモロジー群の元に対応させる2ブロック写像をs:K×K→H₁(M;Z)とする。上の定理は、回転ベクトルは、_A全体に対して、文字列から連続する2桁ずつとってsを施す写像S:_A→(H₁(M;Z))^Zで与えられることを示している。これは、ソフィックシステムと呼ばれる系の典型例となっている。

　一方、記号力学系(_A,)の各点は、アルファベット集合Kの各元を頂点とする有向グラフ上の道で表現することができる。(M,f)の周期点はグラフ上の閉道に対応する。グラフ上の閉道のうち、同一の頂点を2つ以上含まないようなものを単純な閉道といい、対応する(M,f)の周期点を単純な周期点という。グラフ上のすべての頂点を通る閉道があるとき、このグラフを推移的なグラフといい、このとき(M,f)を推移的という。(M,f)が推移的なとき、(M,f)の任意の周期点に対する回転ベクトルは単純な周期点の回転ベクトルの組み合わせで作ることができ、周期点以外の点の回転ベクトルは周期点の回転ベクトルの組み合わせで近似できることから、回転集合は、単純な周期点に対応する回転ベクトルたちを頂点とした凸閉包で与えられることがわかる。グラフ上には単純な閉道は有限個しかないことから、単純な周期点も有限個しかなく、したがって、回転集合は実係数1次元ホモロジー群の凸多面体になることが分かる。この結果と記号力学系の性質から次のことが証明できる。

　定理 ホモロジー自明な推移的同相写像(M,f)の回転集合Rot(f)は凸多面体であり、各頂点は周期点によって実現される。

　Bowenは、公理A系の非遊走集合を有限個の基本集合に分割し、各基本集合上でマルコフ分割を構成した。一般に、遊走点の極限集合は非遊走集合に含まれることを用いれば、以下の系が導かれる。

　系 ホモロジー自明な公理A系の回転集合Rot(f)は凸多面体の和集合である。

　Thurstonは、擬アノソフ可微分同相写像に対してマルコフ分割を構成した。このことから、次の系が導かれる。

　系 ホモロジー自明な擬アノソフ可微分同相写像の回転集合Rot(f)は凸多面体である。

　力学系理論の創始者であるPoincareは、S¹の向きを保つ同相写像に対し、R/Zに値をもつ回転数を定義し、回転数と周期点の存在の間の関係を記述した。回転数は個々の軌道のホモロジー的移動量の平均として定義され、S¹上の同相写像の場合、値は軌道の取り方によらない。その後、回転数の概念は、Kim、Mackey-Guckenheimer、Llible-Mackey、Misiurewicz-Ziemianらによってn次元トーラス上の同相写像に対して、またPoliicottおよびFranksによって一般の曲面上の同相写像に対して回転集合として拡張された。この場合、個々の軌道のホモロジー的移動量の平均としての回転ベクトルが、相空間の1次元ホモトロジー群、正確にはR/Zを係数とする1次元ホモロジー群の元として定義され、その全体のなす1次元ホモロジー群の部分集合を回転集合と呼ぶ。しかしこれまで定義された回転ベクトルあるいは回転集合は、いずれも恒等写像にホモトピックな写像が対象であった。これに対し、本論文で提出者は、1次元ホモロジー群に誘導する準同型が恒等写像であるような同相写像に対して回転集合を定義することに成功した。これによって曲面の同相写像のうち特に重要なクラスである擬Anosov可微分同相写像の一部が、回転集合を定義できる対象に含まれるなど、この概念を用いて漸近挙動を解析することのできる離散力学系が大幅に増えることになった。また提出者は、回転集合が定義できる同相写像の非遊走集合への制限が有限型部分シフトとして表現できる場合に、個々の軌道の回転ベクトルを記号列によって計算する方法を具体的に与え、これによって公理A力学系、あるいは擬Anosov可微分同相写像に対して、その回転集合の形を決定することに成功した。

　論文の構成は以下のとおりである。§1はアーベル被覆空間の復習であり、§2で回転ベクトルと回転集合の定義を与える。同相写像f:M→Mが、1次元ホモロジー群に恒等写像を導くと仮定し、Mの極大アーベル被覆をp:M→M、fのへの持ち上げをF:M→Mとおく。各点x∈Mのpでの逆像の一つに対して、とFⁿ()を結ぶM上の曲線の、pによるMへの像に最も近いM上の閉曲線をh_n(x)、そのホモロジー類を[h_n(x)]とおき、これを用いてxのfに関する回転ベクトルを$113730f08.gif$で定義する。この値はH₁(M;Z)の差を除けばFおよびの取り方に依らず、またほとんどすべてのxに対して存在する。回転集合は、各点に対する回転ベクトルの全体のなすH₁(M;Z)の部分集合である。以上の構成は恒等写像にホモトピックな同相写像に対するものとほぼ同様であるが、極大アーベル被覆を用いるところに工夫がある。§3では記号力学系に対する加法的な不変量の計算の一般的なスキームを扱い、§4はMarkov分割と記号力学系の復習に当てられている。§5では相空間の不変部分集合がMarkov分割をもつ場合、§3のスキームを用いて、その不変集合に属する点の回転ベクトルを計算し、その全体が1次元ホモロジー群の中で有限凸多面体をなすことを示している。これが主結果であり、これより公理A力学系、あるいは擬Anosov可微分同相写像などが1次元ホモロジー群に自明に働く場合、その回転集合は凸多面体の有限和となることが導かれる。最後の§6では、具体例として種数2の閉曲面上の馬蹄形力学系および擬Anosov可微分同相写像を挙げ、前者については回転集合を完全に決定し、後者については回転集合が1次元ホモロジー群H₁(₂;R)の中で、内点をもつことを示している。

　以上のように提出者の結果は、有効な概念である回転集合を用いて研究が可能な離散力学系のクラスを大きく広げたのみならず、特に重要な公理A力学系あるいは擬Anosov可微分同相写像に対して回転集合の形を決定しており、その方向で新しい知見を得たということができる。よって、論文提出者岩井慶一郎は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があるものと認める。