複素多様体としてのCalabi-Yau多様体の理論は最近ミラーシンメトリーとも関連して目覚しい発展を遂げています.そこでそれを手本として,70年及び80年代から精力的に研究が進められて来た正標数K3曲面の理論を使い,正標数Calabi-Yau多様体の理論が構成出来ないだろうかという動きが最近起こり始めています.ここではそれに関連した幾つかの話題のうち特に超特異Calabi-Yau threefoldについて調べます.

　定義1.1.Xを正標数代数閉体上定義された三次元非特異射影代数多様体とする.もしK_XO_Xかつh¹(O_X)＝h²(O_X)＝0が満たされる時XをCalabi-Yau threefoldと呼ぶ.

　正標数C.Y.の重要な特徴の一つに,次で与えられる高さと呼ばれる不変量が定まることが挙げられます.

　定義1.2(Artin-Mazur[1.]).XをC.Y.threefoldとしたとき,Xに付随した高さht(X)を以下で定める.

　また,WO_XをSerreが定義したWittベクトル環の層としたとき,上の定義は以下と同値であることが知られている

　但し,KはWittベクトル環W(k)の商体とする.特にht(X)＝∞のときXを超特異C.Y.と呼ぶ.

　M.ArtinはK3曲面に付随した形式群(形式Brauer群)を上と同様に定義し,その高さを用いて変形のstratificationを与えたのだが,この不変量はまた正標数の病理的現象と深く関っていることが知られている.ところで正標数での多様体を考えた時,最も困難な点の一つに標数零の時のような完全な形のHodge理論が存在しないことが挙げられるが,それに関連して以下の問題が考えられる:

　問題1.3.

　i)XをC.Y.threefoldとしたとき,以下の等式は成立するか?

　ii)C.Y.threefold Xにはどの様な正標数特有のファイブレーションが存在するか?

　(i)の等式が成立することはXについてHodge duality が成立することと同値であることが容易に確かめられる.勿論,この先の段階としてはHodge spectral sequenceの退化,のトーション部分の有無などが問題として考えられる.

　特にXがK3曲面の場合には上の問題は次のように解決されている:等式

　は最初にRudakov-Shafarevich[13]が超特異K3曲面の楕円ファイブレーションの構造を調べることで示し,更にNygaard[11]はde Rham-Witt complexから定まるコホモロジー(Hodge-Wittコホモロジー)を用いることで別証を与えた.特にK3曲面の場合,上記の結果よりHodge spectral sequence

　がE₁-項で退化し,またde Rham betti数はl-adic betti数と一致することが従う.

　また(ii)に関連して,K3曲面Xが準楕円ファイブレーションを持つための必要十分条件はXが超特異(塩田氏の定義で),かつp＝2又はp＝3でArtin不変量₀6であることが知られている(cf.[14]).

　そこで問題の正標数C.Y.threefoldについてであるが,現在以下のことが分かっている.

　定理1.4(宮岡[10]).XをC.Y.threefoldとする.もしH⁰(T_X)が零でないなら以下の二つの場合を除いてXはuniruledである,i),又はii)H⁰(T_X)＝kでこのグローバルセクションによるインクルージョンのコカーネルT_X/O_Xが局所フリー.

　定理1.5.XをC.Y.threefoldとした時,もしXがuniruledならばXは超特異である.

　また諏訪紀幸氏はHodge-WittコホモロジーについでEkedahl dualityを適用することで以下の定理が成り立つことを指摘した(cf.[17]).

　定理1.6.XをC.Y.threefoldとしたとき,もしPicXがpトーションフリーであればが成立する.

　上の諸定理は問題1.3および超特異C.Y.の関係について示唆的である.そこで以下ではどの様な正標数の病理的現象が実際に起こるかを例を構成して調べる.

　ここでは超特異C.Y.threefoldを実際に構成し,正標数での病理的現象について調べる.扱う構成法は以下の二つである

　(I)有理準楕円曲面と有理楕円曲面のファイバー積として,

　(II)上のp-閉有理ベクトル場の商として.

　構成(I).C.Schoenは有理楕円曲面二つのファイバー積を上に取ることでC.Y.threefoldが構成されることを示した.ここでは彼の方法を真似て,一方を有理準楕円曲面とした時どの様になるかを考察する.

　ここではそれぞれ有理楕円曲面及び有理準楕円曲面でセクションを持つとする.更に,全てのファイバーのコンポーネントは被約と仮定した時,以下が成り立つ(cf.[16]):

　i)Wは高々孤立超曲面特異点をもつ,

　ii)Wのdualizing sheafはtrivial.

　そこで特異点解消:→Wを考える訳であるが,以下の定理が成立することがわかる.

　定理2.1.₁,₂を以下のような可約ファイバーのみを持つとする:

　更にが満たされる様.上にファイバー積を取った場合small resolution :→Wが存在する.実際にこれ等を満たす₁,₂は存在し以下が成立する:

　i)はCalabi-Yau threefoldである,i.e.,,h¹()＝h²()＝0,

　ii)はunirational,即ち超特異C.Y.,

　iii)

　iv)b₂()＝27if p＝2,b₂()＝35if p＝3が成立する,

　v)である,即ちHodge dualityが成立する.

　vi)上ファイブレーションで一般ファイバーが,(a)楕円曲線とカスプを一つ持つ有理曲線との直積,及び(b)有理二重点を持つK3曲面であるようなものが存在する.

　更に上定理vi)で云うファイバー構造についてY₂:有理曲面より,-ファイブレーション構造(上のファイブレーションで一般ファイバーがと同型なもの)が存在し,射の合成によりのファイブレーションを誘導する.特に,f₂の一般ファイバーは次のファイバー積で与えられる:

　よって二重被覆によるの底変換を観察することでf₂の一般ファイバーが決定できる.

　定理2.2.の一般ファイバーは

　(1)p＝3の時K3曲面.

　(2)p＝2の時K3曲面及び12個の有理二重点A₁を持つ正規曲面で超特異K3曲面と双有理.

　またY₂の代わりにY₁の-ファイブレーションを同様に考えることで,以下のようなのファイブレーションが存在することが判る.

　定理2.3.の一般ファイバーは

　(1)p＝3の時2個の有理二重点A₂を持つ正規曲面で超特異K3曲面と双有理,

　(2)p＝2の時1個の有理二重点D₄を持つ正規曲面で超特異K3曲面と双有理.

　またはその構成法より一般ファイバーが楕円曲線とカスプを一つ持つ有理曲線との直積であるような上ファイブレーションを持つことが判る.この様な特異な一般ファイバーを持つファイブレーションは超特異K3曲面の準楕円ファイブレーションとも関連して興味深い対象である.

　構成(II).ここでは正標数特有のp-閉ベクトル場による商多様体の構成を用いる(cf.[13]).即ちZを非特異多様体とし,その上の有理ベクトル場でp-閉なもの(i.e.,^P＝ for some ∈k(Z))を一つ取る.この時,正規多様体Vが商として得られ,Zの相対フロベニウス射はVを経由する.

　gは有限,純不分離射で次数pである.この様にして得られるVは勿論の取り方によって様々に変化するのであるが,ここではZとして三次元有理多様体を考え,その商としてC.Y.threefoldを構成する.

　定理2.4.以下のような上のp-閉有理ベクトル場を考える:

　による商をとする.ここで標数p＝3の時,Vはcrepant resolution:X→Vを持ち,以下が成り立つ:

　i)XはCalabi-Yau threefoldである,

　ii)Xはunirational,即ち超特異C.Y.,

　iii)

　iv)b₂(X)＝41,b₃(X)＝0が成立する,

　v)h⁰(_X)＝h⁰(T_X)＝0である,即ちHodge dualityが成立する,

　vi)Xは準楕円ファイブレーションを持つ.

　注意2.5.上の(I),(II)のようにして得られたC.Y.threefoldは次の形のHodge diamondを持つ,

　特に(II)で構成された例Xについて,b₃＝0であるためXは標数零に持ち上がらないことがわかる.このことは全てのK3曲面は標数零に射影的に持ち上がる(P.Deligne[2])という性質がC.Y.threefoldでは必ずしも成立しないことを示している.