この論文は、対称群の射影表現とQ(n)と呼ばれるLie superalgebraの表現の間に存在するdualityを確立し、Schurが対称群の既約な射影表現の指標を決定した式の背後にこのdualityがあることを示したものである。

　対称群の通常の既約指標を、べき和対称関数といわゆるSchur関数という2種類の対称関数の間の変換関数として与えるFrobeniusの公式の背後には、Schur-Weyl dualityと呼ばれる一種のdual pairの存在がある。すなわち、GL(n,C)の自然表現であるCⁿのk階テンソル積空間$113740f03.gif$には一般線形群GL(n,C)と対称群が互いに他のcentralizerとして作用する。従ってTは直積群GL(n,C)×の表現空間としてmultiplicity freeに分解し、かつそれを通じてTに現れるGL(n,C)の既約表現との既約表現が1対1に対応する。Frobeniusの公式は、GL(n,C)×の元のTへの作用の指標値を、表現の分解に則して書き表した式と見ることができる。

　SchurはまたSchurのQ関数と呼ばれる対称関数を導入し、Frobeniusの公式と同様にして、べき和対称関数とSchurのQ関数との間の変換関数が対称群の既約射影表現の指標(正確には、対称群の表現群と呼ばれる対称群の中心拡大群の既約指標)を与えることを示した。この背後にも何らかのdual pairの存在が想像されるが、その正しい解釈は見つかっていなかった。

　これと関連の深い結果として、Sergeevは特殊な2n×2n行列のなすC上のsimple Lie superalgebra$113740f04.gif$がdegree0の部分、$113740f05.gif$がdegree1の部分)の自然表現$113740f06.gif$のk階のgraded tensor productに対し、Q(n)の作用のgraded algebraの意味でのcentralizerがB_k型のWeyl群W(B_k)のねじれ群環の一つ(論文中ではB_kと表記)に同型であることを示し、従ってがQ(n)とB_kの両方の作用のもとでmultiplicity freeに分解すること、かつこれを通じてに現れるQ(n)の既約表現とB_kの既約表現とが1対1に対応することを示して、に現れるQ(n)の既約表現のparametrizationを行った。またSchurの式に類似したべき和対称関数とSchur Q関数の間の変換式の係数をもってB_k上の"類関数"を定めると、それがB_kの既約指標になることを示し、それによりSchurのQ関数がQ(n)の既約表現の指標になることも示した。

　このB_kのねじれ群環のgradedの意味での既約表現は、degree shiftを除くと、対称群のねじれ群環(対称群の、線形表現でない射影表現を表現に持つような環、論文ではA_kと表記)のgradedな既約表現と同じくkの相異分割(成分がすべて異なる分割)によってparametrizeされる。このことやSergeevの用いた式とSchurの式との類似性は、B_kの既約表現とA_kの既約表現の間に簡明な関係が存在することを示唆しているが、そのような簡明な関係は知られていなかった。

　これに対して論文提出者はまず、A_kからB_kへ埋め込みが存在することを発見して具体的に書き表し、かつB_kがこの埋め込みの像とClifford algebra C_kとのgraded algebraの意味でのテンソル積に書けることを発見した。(はW(B_k)の部分群であるが、ねじれ群環B_kに付随するW(B_k)の2コサイクルはに制限するとtrivialになるものなので、B_kに自明に埋め込まれているのはの群環であってA_kではない。)C_kはgraded algebraとしてはsimpleであるので、そのgradedな意味での既約表現は(degree shiftを除き)一つしか存在しない。これによりB_kの既約表現はA_kの既約表現とC_kの唯一の既約表現とのgradedの意味でのテンソル積になるという単純明快な関係がわかり、その間に自然に1対1対応があることもわかった。またこのClifford algebraのdegree0のpartに$113740f07.gif$個の可換なinvolutionをとってその同時固有空間を考えることにより、Q(n)とA_kがほぼ互いに他のgradedの意味におけるcentralizerとして作用するような空間を特定した。この空間はQ(n)とA_kの両方の作用のもとでmultiplicity freeに分解し、それを通じてQ(n)の既約表現とA_kの既約表現との1対1対応が実現されている。またSchurの式はまさに、この空間におけるQ(n)とA_kの元の作用を同時に考えたときの指標値を表現の分解に則して書き表した式になっている。この意味でこれがまさにSchurの式の背後にある(super)dual pairであるといえる。

　論文提出者の得た以上のような美しい結果は、対称関数やLie環・量子群の表現などに関連した組合せ論の若手第一人者の一人であるLeclercなどにも注目され、この周辺の問題に長く関心を持ち研究を続けているJozefiakにも高く支持されている。今後Lie superalgebraの表現などに関する周辺の問題やアイディアと組合せることにより、さらに発展が期待される結果である。

　よって、論文提出者 山口 学 は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める。