本論文では多変量正規分布における

　1.分散共分散行列の推定

　2.平均ベクトルの縮小推定量の平均二乗誤差の推定.

　という二つの推定問題を取り上げ,そのそれぞれに関し新たな知見を得ている.

　正規分布モデルを基礎とする統計的推測においては,多くの場合完備十分統計量が存在し自明に最小分散不偏推定量が求められる.しかしながら,1956年にSteinが確率変数X_i,i＝1…K,が互いに独立に正規分布N(_i,²)に従うという単純な設定の下で,K3の時に自明な最小分散不偏推定量＝X_iを総平均二乗誤差の意味で改良する推定量を構成して以来,種々の設定で最小分散不偏推定量を改良する試みがなされてきた.本論文はその流れの中で,多変量正規分布における

　1.分散共分散行列の推定,

　2.平均ベクトルの縮小推定量の平均二乗誤差の推定,

　という二つの推定問題を取り上げ,それぞれに関し新たな改良推定量を理論的に導くとともに,その良さをシミュレーションにより確認したものであり,全2部8章より構成されている.

　第1章は全4章からなる第1部の序章であり,多変量正規分布における分散共分散行列の推定問題を概観している.とくに1元配置母数模型を扱う第2章,第3章の設定が,互いに独立に多(p)変量正規分布N(_i,)に従うX_i,i＝1,…,K,およびそれらとは独立にウィシャート分布W_p(n,)に従う標本共分散行列Sとに基づくの推定問題であり,アフィン変換に関し不変な損失関数

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　を想定することについて述べている.このとき,自明な共変最小分散不偏推定量₀＝n^-1Sが非許容的であり,それを改良する主として二つの接近法があることを紹介している.まず第一の接近法として,1変量(p＝1)の場合にSteinがX₁,…,X_Kの情報を利用した打ち切り推定量を提案し,Sinha & Ghoshがそれを直接的な方法で多変量に拡張し推定量を提案した.は₀は改良するものの,その不連続性ゆえに十分な改良は得られない.そこで,とくにK＝1の場合に,PerronおよびKubokawa他の連続推定量が提案されることになる.本論文の第2章はこの流れに沿った拡張を与える.₀を改良する第二の接近法はミニマックス推定量であり,第3章で有望なミニマックス推定量が提案される.一方,第4章が1元配置変量模型の二つの分散行列成分の推定問題を扱うこと,ならびにこの設定における最小分散不偏推定量の非許容性とその改良推定量が提案されてきた経緯について述べている.

　第2章でまず提案される推定量は

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　である.ただし,UはUU’＝Sを満たす任意のp×p行列,HH’はU^-1XX’U’^-1のスペクトル分解,＝diag(_i)そしてHは直交行列である.Uの任意性に関わらず,UHは一意である.推定量^TRにおいて,^TR＝diag{min(n^-1K,_i)}がSinha & Ghoshの推定量の不連続性を解消する本質的部分であり,K＝1の特別な場合としてPerronの推定量を含んでいる.^TRが損失関数L(,)の意味で₀およびを真に改良することを示したのが本章の理論的成果である.次に₀を改良する推定量として新たにを提案し,それが^TRを改良するとの推測を述べているが,厳密な証明には至っていない.以上の考察を確認するためのシミュレーションを行い,新しく提案した推定量_TRおよびの両者,とくに後者が₀,を改良する有望な推定量であることを示している.

　第3章では,第二の接近法であるミニマックス推定量の改良を論じ,新たな推定量を提案している.₀を改良するミニマックス推定量としてまず,James & Steinの推定量^JSが提案され,さらにDey-Srinivasanにより改良推定量^DS＝UCU’が提案された.ただし,ここではSのスペクトル分解S＝QLQ’より,U＝QL^1/2と定義し,C＝diag{(n+p+1-2i)^-1}である.本章では^DSを改良する推定量のクラス＝()UCU’を論じ,()の満たすべき十分条件を与えると共に,具体的な改良推定量を与えるものとして,

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　を導いている.対応する推定量は^TR1と書かれる.次に推定量のクラスを

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　に拡げ,が^DSを改良するために_i()の満たすべき十分条件を与えると共に,それを満たす具体的な関数を導いている.対応する推定量は^TR2と書かれる.^DSの改良としてはこの他にSheena & Takemuraによる二つの推定量があるが,本章では引き続きそれらの非許容性を示すと共に改良推定量として,^TR3,^TR4を提案している.これらに第2章で提案した推定量を加えたシミュレーションによる検討では本章の方法,なかでも^TR2の有位性が示されている.

　第4章は多変量1元配置変量模型

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　における二つの分散行列成分の推定問題を扱う.ただし,_i,∈_ijはそれぞれ,また互いに独立とする.群内および群間の標本分散行列をそれぞれS_eおよびS_vとするとき,_e,_vに対応する自明な最小分散不偏推定量

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　は前2章で用いた損失関数に関し非許容的であり,とくには正の確率で負値定符号行列となる本質的欠陥を有する.そこで,確率1で非負値を取る制約付最尤推定量,が提案されたが,その理論的性質は十分に解明されていなかった.そこで本章では,一連の確率行列に関する不等式を開発することにより,およびがそれぞれ,を改良することを理論的に証明した.次に3章と同様の方法により,_eおよび_vに対する一連のミニマックス推定量を構成し,それらが従来提案されている推定量を改良することをシミュレーションにより確認している.さらにそれら改良ミニマックス推定量の合成により群間成分である_vを推定することを提案しているが,その推定量は非負とならない確率が常に十分小さいとは限らないという意味において今後に課題を残している.

　第5章は全4章からなる第2部の序章であり,多変量正規分布の平均ベクトルの縮小推定量,および小領域問題に適用される混合線形モデルによる縮小予測推定量の精度評価の研究の経緯を紹介している.

　まず第6章で扱われる問題は,多(p)変量正規分布N(,²I_p)に従う確率変数Xに基づく平均ベクトルの縮小推定量

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　の精度評価である.ただし統計量SはXとは独立に自由度nの²変数の定数倍²_nに従うものとし,(W)は絶対連続かつ(W),’(W)共に有界とする.従来提案されている縮小推定量はすべてこのクラスに属している.かかる非線形な縮小推定量の平均二乗誤差を評価することはそれ自体容易なことではないが,本章ではその最小分散不偏推定量を求めたうえ,さらにそれを平均二乗誤差の意味で改良する縮小推定量を提案している.またシミュレーションにより,とくに非心度‖‖/²の小さいとき,その不偏推定量を改良する程度が十分に大きいことを確認している.

　第7章で扱われるのは混合線形モデル

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　における第i水準の効果x_i+_iの予測量の評価である.これは小領域問題と呼ばれ,x_iは小領域iの母数型説明変数,_iは同確率的変動成分,そして∈_ijは誤差変量であり,_i,∈_ijはそれぞれ,また相互に独立である.これは領域全体の回帰成分に小領域の特徴を加味して_iの推定精度を上げようとするもので,農作物の収率の推定など広い応用分野を持つ.本章では縮小推定量の平均二乗誤差の不偏推定量,ならびにその改良推定量を与えると共にそれを_iの信頼区間構成に役立てることを提案している.かかる非線形な推定量に基づき,適切な信頼区間を構成することは応用上の貢献が大きい.

　第8章は以上の結果のまとめである.

　以上を要するに,本論文は,(1)多変量正規分布の分散行列の推定,および(2)多変量正規分布の平均の縮小推定量の平均二乗誤差の推定という二つの問題に関し,従来提案されている推定量の非許容性を理論的に証明すると共に,実際にそれらを改良する推定量を構成し,その有用性を明らかにしたものであり,工学的意義が大きい.

　よって本論文は博士(工学)の学位請求論文として合格と認められる.