奇素数pを固定し,Kをアーベル体とする.でKの円分拡大を表し,そのn番目の中間体をK_nとおく.K_nのpの上の素点p_nに対し,p_nによるK_nの完備化をで表す.での主単数群を表し,とおく.ここでp_nはpの上のK_nの素点全体を動く.をK_nにおけるSinnott[6]の円単数群とし,埋め込みでの像と同一視する.をの中でのの閉包とする.そこで

　とおく.ただし,射影極限はノルムでとる.本論文はU/CのGalois構造に関する研究である.

　を上の円分拡大としたとき,を仮定してよい.,とおき,U/Cを完備群環[G][[]]上の加群と見なす.そこで,U/CをGの作用に応じて分解する.をに値をとるGの非自明な偶指標とし,をに付随するのべき等元とする.このとき,を仮定すれば,であることから,[][[]]-加群(U/C)が定義される.ここに[]は上の値で生成される環とする.通常のようにの位相的生成元₀を1つ固定し,対応₀1+Tにより,任意の[][[]]-加群を形式的巾級数環上の加群と見なす.

　まず,U/Cの構造に関して,すでに知られている結果を述べる.1964年,岩澤は[5]においてK＝(_p)である場合に円単数群Cと久保田-Leopoldtのp進L関数との間に深い関係が存在することを証明した.そして,その事実から次の同型を導いている:

　ここでは久保田-Leopoldtのp進L関数に付随する巾級数とする.この結果はGillard[3]により,一般のである場合に拡張された.とくに^-1(p)≠1(はTeichmuller指標)である場合,上と全く同じ形の同型が成り立つ.なお,Gillardの証明の方法は岩澤の方法とは異なり,Coates-Wilesの対数微分に基づく方法を適応したものであった.その後,Greither[4]により,p|#Gなる場合も含めて,U/Cの構造に関する研究が行なわれた.しかし,が[G]の元になるのはの場合に限られることから,そこではが考察の対象とされている.とくに^-1(p)≠1のとき,-同型

　が存在することを証明した.この同型はColeman準同型から導かれる.ここでColeman準同型とはUからある完備群環への標準的な写像で[1][2]において定義されており,Gillardが適応したCoates-Wilesの理論を一般化し,整理することによって得られたものである.

　本論文ではp|#Gである場合も含めて[G][[]]-加群U/Cの"-成分"の構造を考察する.先に述べたようにp|#Gである場合には,[G]-加群の直和因子となる-成分を定義できない.そのことから,任意の[G]-加群Mに対して,次のように定義される2つの[]-加群を考察する:

　ただし,は[]にGの作用をで定義した[G]-加群とする.ここで,を仮定したとき,とはどちらもMに同型であり,一般にを施せば,それらはに同型であることに注意しておく.本論文の主結果はすべてのKとに対して定義される-加群及び(U/C)の構造を決定したことである.

　主結果を述べるためにいくつか記号を準備する.^-1に対応する原始的Dirichlet指標を₁とおく.₁(p)-1とで生成されるのイデアルをで表わす.ここには円分指標とする.mとfをそれぞれKとの導手のpと素な部分とし,fで割れないmの素因子全体からなる集合をとおく.の部分集合Iに対してとおき,Kとによって決まるのイデアルを

　と定める.ただしa_lはを満たすの元とする.

　そこで,先に述べたColeman準同型を用いて2つの-準同型とを標準的に定義した.

　主結果は次の通りである:

　定理1.(i)₁(p)≠1のとき,はcokernelが有限となる単射準同型

　を与え,その像はとなる.

　(ii)₁(p)＝1のとき,-加群の完全系列

　が存在する.

　定理2.(i)₁(p)≠1のとき,はcokernelが有限となる単射準同型

　を与え,その像はとなる.

　(ii)₁(p)＝1のとき,-加群の完全系列

　が存在する.ここにであり,dはGの中のpの分解群の位数とする.ただしはgeneralized Bernoulli数とする.

　なる条件の下では,上の定理はどちらも先に述べた岩澤[5],Gillard[3]の結果に一致する.または常にの中で指数有限であることに注意すれば,Greither[4]の結果は定理1及び定理2のどちらからも導くことができる.

　さらに,定理1及び定理2から次のことが得られる:の構造はの情報によってのみ記述できる.しかし,の構造を記述するにはKとによって定まるのイデアルが必要である.従って,とくにとは同型とは限らない.

　₁(p)≠1かつ₁(p)が1のp巾乗根に値を取るとき,定理1及び定理2におけるとはどちらも非自明なcokernelを持つことがわかる.しかし,このような場合でも及びはそれぞれとに同型でないとは限らない.そこで,本論文では₁(p)≠1の下で,それらの同型が成り立つ必要十分条件も与えた.そして,その判定条件の1つの応用として,及びがそれぞれ-加群としてとに同型でないような例が得られた.

　証明の方針はColeman[2]の手法に基づいたGreither[4]の証明に従った.その概略は次の通りである:まず,Coleman準同型の性質を用いて-加群との構造を決定した.次にとCのによる像の-加群としての生成元をそれぞれ与えた.なおGreitherは-加群の生成元を与えているが,我々は[]-整数係数上の加群及びを考察するため,より精密な議論が必要になった.ちなみにGreitherが与えたその生成元は及びの生成元になるとは限らない.最後に及びのとによるそれぞれの像を計算することにより証明が完了する.

[3]R.Gillard,Unites cyclotorniques,unites semi-locales et -extensions II,Ann.Inst.Fourier,Grenoble 29(1979)1-15.

　奇素数pとアーベル体Kが与えられたとき,Kの円分拡大のn番目の中間体をK_nと書く.K_nのpの上の素点p_nに対し,p_nによるK_nの完備化をとし,での主単数群を表し,$114639f38.gif$とおく.ここでp_nはpの上のK_nの素点全体を動く.をK_nにおけるSinnottの意味の円単数群とし,埋め込み$114639f39.gif$での像と同一視する.をの中での$114639f40.gif$の閉包とする.このとき

　$114639f41.gif$

　とおく.但し射影極限はノルムでとる.本論文はこれらの商U/CのGalois構造に関する研究である.

　以下を上の円分拡大としたとき,$114639f42.gif$を仮定する.$114639f43.gif$,$114639f44.gif$とおき,U/Cを完備群環[G][[]]上の加群と見なし,U/CをGの作用に応じて分解する.をに値をとるGの非自明な偶指標とし,をに付随するのべき等元とする.このとき,を仮定すれば,$114639f45.gif$であるから,[][[]]-加群(U/C)が定義される.ここに[]は上の値で生成される環とする.例の如くの位相的生成元₀を1つ固定し,対応₀1+Tにより,任意の[][[]]-加群を形式的巾級数環$114639f46.gif$上の加群と見なす.

　本論文の背景をなす,U/Cの構造の研究史を少し概観する.1964年,岩澤は$114639f47.gif$である場合に円単数群Cと久保田-Leopoldtのp進L関数との間に深い関係が存在することを証明した.そして,その事実から次の同型を導いている:

　$114639f48.gif$

　ここで$114639f49.gif$は久保田-Leopoldtのp進L関数に付随する巾級数とする.この結果はGillardにより,一般のである場合に拡張された.とくに^-1(p)≠1(はTeichmuller指標)である場合,上と全く同じ形の同型が成り立つ.さらにその後,Greitherにより,p|#Gなる場合も含めて,U/Cの構造に関する研究が行なわれた.しかし,が[G]の元になるのはの場合に限られることから,そこでは$114639f50.gif$が考察の対象とされている.とくに^-1(p)≠1のとき,$114639f51.gif$-同型

　$114639f52.gif$

　が存在することを証明した.この同型も含め類似の同型は現在は岩澤の元の証明とは別のColeman準同型から導かれる.ここでColeman準同型とはUからある完備群環への標準的な写像で,相互法則の明示公式の研究の分析から得られたものである.

　本論文ではp|#Gである場合も含めて[G][[]]-加群U/Cの"-成分"の構造を考察する.先に述べたようにp|#Gである場合には,[G]-加群の直和因子となる-成分を定義できない.そのため,任意の[G]-加群Mに対して,次のように定義される2つの[]-加群を考える:

　$114639f53.gif$

　ここで,は[]にGの作用をで定義した[G]-加群とする.従前のように,を仮定したとき,とはどちらもMに同型であり,また一般に$114639f54.gif$を施せば,それらは$114639f55.gif$に同型であることに注意しておく.

　本論文の主結果はすべてのKとに対して定義される-加群及びの構造を決定したことである.

　本論文では,先に述べたColeman準同型の類事物である,2つの-準同型$114639f56.gif$と$114639f57.gif$を標準的に定義した後,これを用い上記の二つの主結果を得た.

　勿論,なる条件の下では,これらはいずれも岩澤,Gillardの結果に一致し,またGreitherの結果の精密化になっている.さらに,この結果はいくつか興味深い応用をもち、新たな例の発見にも役にたっている。証明の方針は概ね、Colemanの手法に基づいたGreitherの証明に従っているが、上に述べたように,新たにより精密なColeman準同型の新版を用意するところが,本論文の技術的な主眼である.

　このように,本論文は他の研究者が,問題の複雑さ故に敢えて手をつけなかった場合を精密・詳細に解析し,岩澤理論の深化に大変興味ある寄与をなした.よって、論文提出者都地崇恵は、博士(数理科学)の学位を受けるのにふさわしい充分な資格があると認める.