本論文で、無限次元線型制御システム:

　の指数的安定化可能性と完全可制御性を論じた。ここでYとUは可分な複素Hibert空間であり,AはYにおいてC₀半群を生成し,BはUで定義されたYへの有界線形作用素であるとする。もしYからUへの有界線形作用素Kがあって、A-BKがt→∞のとき指数関数のオーダで減衰するC₀半群を生成するならば、システム(A,B)は指数的安定化可能であるという。もし任意のy₀,y₁∈Yに対して、u(・)∈L²(0,t₀;U)が存在して,(A,B)のmild solution y(・;u)がy(0;u)＝y₀およびy(t₀;u)＝y₁を満たすならば、システム(A,B)は[0,t₀]において完全可制御という。さらに、あるt₀>0に対して、[0,t₀]においてシステム(A,B)が完全可制御ならば、システム(A,B)は完全可制御という。本論文では,指数的安定化可能性と完全可制御性をfrequency domain条件とよばれる不等式によって特徴づけた。この条件はYとUが有限次元空間の場合にHautusが示した古典的な判定条件の一般化である。さらに、本論文では、最近のRussellとWeissによる予想が検討され、時間可逆的なシステムに対して彼らの予想が正しいことが示された。最後に、Bを恒等作用素Iとした場合にシステム(A,I)の完全可制御性と時間可逆性との関係が調べられた。応用として部分領域に集中している制御によるSchrodinger方程式の完全可制御性を調べた。

　以下、この論文の主な結果を紹介する。まず、指数的安定化可能性の必要十分条件をHautusによるfrequency domain条件と類似の条件で与えた。以下Iは恒等作用素とする。

　定理 1 AがC₀半群を生成するならば、システム(A,B)が指数的安定化可能であることの必要十分条件はある>0が存在して、

　となることである。さらに、とすれば、システム(A,B)が指数的安定化可能であることの必要十分条件はある>0が存在して、

　となることである。

　次に、時間可逆なシステムにおいて、完全可制御性に対してfrequency domain条件が得られた。

　定理 2 AがC₀群を生成するならば、システム(A,B)が完全可制御であることの必要十分条件はある>0が存在して

　となることである。

　この定理は、AがC₀群を生成する場合にRussell-Weissによる予想が正しいことを意味している。更に、エネルギー保存系システムに対して、以下の結果が得られた。

　定理 3 A^*＝-Aなら、以下が同等である。

　(a)システム(A,B)は完全可制御である.

　(b)システム(A,B)は指数的安定化可能である.

　(c)ある>0が存在して、

　(d)ある’>0が存在して、

　最後に、次の定理は完全可制御性と時間可逆性の関係を明らかにする。

　定理 4 以下の条件は同等である。

　1)AがC₀群を生成する。

　2)システム(A,I)とシステム(A^*,I^*)は完全可制御である。

　3)システム(A,I)は完全可制御である、しかも、lim_n→∞Re_n＝-∞となるが存在する。

　ここで、

　本論文の第一部において論文提出者 周 奇 はHilbert空間における発展方程式に対する線形制御系の完全可制御性ならびに安定化可能性を、方程式を記述している作用素のスペクトルによって特徴付けた。この結果は基礎となっているHilbert空間が有限次元の場合に古くから知られているHautusによる条件を一般化したものである。

　さらに、第一部で得られた作用素論からの特徴付けを用いて、Schrodinger方程式に対する内部制御による完全可制御性のために制御領域が満たすべき十分条件を幾何的に与えた。

　以上述べたことを詳しく述べると以下のようになる。無限次元線型制御システム:

　$114644f10.gif$

　を考察した。ここでYとUは可分な複素Hibert空間であり,AはYにおいてC₀半群を生成し,BはUで定義されたYへの有界線形作用素であるとする。もしYからUへの有界線形作用素Kがあって、A-BKがt→∞のとき指数関数のオーダで減衰するC₀半群を生成するならば、システム(A,B)は指数的安定化可能であるという。もし任意のy₀,y₁∈Yに対して、u(・)∈L²(0,t₀;U)が存在して,(A,B)のmild solution y(・;u)がy(0;u)＝y₀およびy(t₀;u)＝y₁を満たすならば、システム(A,B)は[0,t₀]において完全可制御という。さらに、あるt₀>0に対して、[0,t₀]においてシステム(A,B)が完全可制御ならば、システム(A,B)は完全可制御という。以下Iは恒等作用素とする。

　まず、指数的安定化可能性の必要十分条件を有限次元空間におけるHautusによるfrequency domain条件と類似の条件で与えた:

　定理 1 AがC₀半群を生成するならば、システム(A,B)が指数的安定化可能であることの必要十分条件はある>0が存在して、

　$114644f11.gif$

　となることである。さらに、$114644f12.gif$とすれば、システム(A,B)が指数的安定化可能であることの必要十分条件はある>0が存在して、

　$114644f13.gif$

　となることである。

　次に、時間可逆なシステムにおいて、完全可制御性の特徴付けを行った:

　定理 2 AがC₀群を生成するならば、システム(A,B)0が完全可制御であることの必要十分条件はある>0が存在して

　$114644f14.gif$

　となることである。

　さらに、エネルギー保存系に対して以下の結果を得た。

　定理 3 A^*＝-Aなら、以下の条件は同等である。

　(a)システム(A,B)は完全可制御である.

　(b)システム(A,B)は指数的安定化可能である.

　(c)ある>0が存在して、

　$114644f15.gif$

　(d)ある’>0が存在して、

　$114644f16.gif$

　次に部分領域に限定された制御項を持つSchrodinger方程式を考えた:

　$114644f17.gif$

　はN次元空間の有界領域で境界∂は十分滑らかとし、Gはの部分領域、_GはGの特性関数、u∈L²(×(0,T))は制御入力関数とする。Tは与えられた時刻とする。さて、完全可制御の問題とは任意に与えられた初期値y₀に対して制御uを適当に選んで、y(・,T)＝0とできるかどうかを問う問題である。完全可制御性のためには制御領域Gがある程度大きな領域でなくてはならないことはSchrodinger方程式のもつ波動的な性質からも理解されるが、第一部で確立された条件を検証することによって可制御性のためにGが満たすべき具体的な十分条件を与えることができた。この条件は領域に関して本論文で課した正則性よりはるかに強い条件の下での超局所解析の手法による条件に対応している。

　本論文はこのように作用素論を駆使して制御理論における基本的な問題である完全可制御性ならびに安定化可能性の意味ある新たな特徴付けを与えており、論文提出者周奇は博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める。