ある入口流速、ある水位ではスロッシングの基本モードで液面は揺動し、自励スロッシングが成長する。振動は流入する噴流により励起される。スロッシングの発生に影響する主な因子は初期水位と噴流入口流速である。実験との比較のために平均水位(H)を導入する。これはスロッシング1周期の平均水位である。水位(H)は普通初期水位(H0)より高い。実験においては水位計で測られたスロッシングの卓越周波数は流れのないタンク内の流体の固有振動数とほぼ一致しており、次式で与えられる。

　ここにgは重力加速度であり、Wはタンク幅である。

　シミュレーション結果 水位が高い場合を除いて安定条件、振動条件が観察された。図2は噴流入口流速と平均水位でまとめたスロッシング発生条件である。実験においては発生領域は水位増加とともに入口流速も増加する。しかしシミュレーションでは領域はほぼ水平である。これは発生条件が水位に依存しないことを意味する。シミュレーションでは層流を仮定しているため噴流とスロッシングの動きとの相互作用が実験とは異なってしまい、結果として発生条件も変わってしまったと思われる。しかしながら水位を固定してみると入口流速の増加によって安定条件から振動条件に移り、また安定条件に戻る。この流速変化による変化の傾向は正しく模擬できている。

　安定状態ではパルスを加えた後、液面はスロッシングの基本モードで振動するが、振幅は次第に小さくなっていき、数秒以内で動きは止まってしまう。流れ場は対称状態に戻る。この条件を本研究では安定条件と呼ぶことにする。

　水位と入口流速がある範囲にあると自由液面の振動振幅は大きくなっていき、周期的スロッシング運動(自励スロッシング)となる。自励スロッシング中の流れ場について実験で可視化した結果とシミュレーション結果を図3に示す。実験では噴流形状は白く可視化されている。数値解析においては噴流内の仮想粒子軌跡を示す。いずれの場合もスロッシング運動の影響を受けながら噴流は自由液面に衝突する。シミュレーションの噴流と自由液面は実験で可視化された形状と同一であった。

　シミュレーションが層流であったため、より水位が高い条件では有意な情報は得られなかった。このとき現れた状態を本研究では不安定ないし「屈折噴流」と呼ぶ。この状態は実験結果では現れない。屈折噴流の発生は数値解析の限界を表している。

　自励スロッシングの機構 タンク内全体においてスロッシング運動は一様、すなわちスロッシングの位相はタンク内の位置(x,y)によらないと仮定する。噴流の横揺れの位相は入口からの距離に依存する。噴流の横揺れとスロッシング運動との位相差がスロッシングを発生する。噴流入口からの垂直距離をyとする。噴流の水平方向変位()は次のように表すことができる。

　噴流の流脈線を各時間の速度分布から計算する。仮想粒子を流れ場に流しその軌跡を求める。仮想粒子はその位置の流速で移動するが、噴流の変位はそれとは異なる速度(すなわち波速)で移動する。波速は速度擾乱の伝播速度である。変位()は式(2)に従う。実験では噴流流脈線の位相遅れを画像処理により求めた。図4は噴流速度が異なるときの位相遅れ分布である。初期水位は一定とする。噴流流速を上げるに従い、噴流の横揺れ伝播速度は速くなり、自由液面位置での位相遅れは小さくなる。実線は安定条件のもの、点線は自励スロッシング条件のものである。安定条件では位相遅れはパルス印加後の減衰振動時の噴流形状から求めている。スロッシングは位相遅れがある範囲にあるとき発生する。この結果は深谷ら⁽⁴⁾によって提案されたモデルを裏付けるものである。

　スロッシングに供給されるエネルギー この現象の発生は噴流の挙動とタンク内の流れの自由振動との間のフィードバックプロセスによると考えられる⁽⁴⁾。普通、図1の対称流れ場は乱流の影響を受ける。乱流は流れに乱れそして非対称性を生じさせる。自由液面はそれにより余分な重力ポテンシャルを得る。余分なポテンシャルがタンク内の自由振動(スロッシング)を発生させる。結果として振動圧力場が流れに作用する。振動圧力場にさらされた噴流もまた振動し始める。噴流の首振り運動により運動量が不釣合いに供給されて局所的に振動エネルギーを発生させる。定量的にいうと、タンクはある数(n)のコントロールボリュームに分割されている。k番目のコントロールボリュームの単位時間当りの供給振動エネルギーは流体力とスロッシング速度のスカラー積となる。

　ここでx_kとy_kはコントロールボリュームの中心座標である。スロッシング速度はスロッシング運動がポテンシャル流れで記述できると仮定して求める。タンク全体での1周期間の全供給振動エネルギーはスロッシング1周期にわたって全要素の和をとることで計算できる。コントロールボリュームに作用する力はシミュレーション結果の速度・圧力場から求める。図5は供給エネルギー分布の例である。噴流に沿ってエネルギーの正負は数回変化する。白線がエネルギーゼロの位置に対応する。供給エネルギーが正(濃い灰色)の領域では噴流からスロッシングにエネルギーが渡される。エネルギー負(薄い灰色)の領域では噴流は流れ場を安定化、すなわちスロッシングを止めようとする。自励スロッシングが発生する場合、噴流に沿ってエネルギー正の領域が大きく存在している。安定状態の場合は噴流に沿った主なエネルギーは負である。噴流速度が小さいと(安定状態)噴流上のエネルギーは高流速の場合(振動状態)より数多く符号を変える。エネルギー分布は噴流流脈線の位相遅れ(図4)と関係している。噴流速度が小さいと噴流の横変位はゆっくり伝播し液面での位相遅れが大きくなる.噴流速度が大きいと噴流上のエネルギーの符号変化の回数は少なくなる。これは自由液面での噴流流脈線の位相遅れ小と対応している。

図表Figure 1 Self-induced Free Surface Oscillations Caused by Vertical Plane Jet / Figure 2 Sloshing Occurrence Map / Figure 3 Self-induced Sloshing caused by Vertical Plane Jet(Experiment and simulation) / Figure 4 The Jet Streak Line Phase Lag Distribution

　ジェットフラッタの振動数は次式でよく近似される。

　ここにgは重力加速度、hは噴流入口から液面までの距離、h_sは隆起高さである。式(4)は隆起高さだけ液柱が長くなったことを考慮した連結タンクの液柱振動の振動数である。ジェットフラッタは噴流速度がある値以上の広い範囲で発生する。流速の下限は噴流の厚さbにも依存し、厚くなるほど低下する。図6に計算結果と実験結果を比較して示すが、良くあっている。

　位相関係 噴流両側の圧力差の変化と隆起位置の変化をシミュレーション結果から求める。振動圧力場に置かれた噴流は振動する。噴流の挙動と噴流両側の圧力差の関係を隆起位置が噴流位置と一致しているとして調べる。しかし隆起位置と圧力差には図7に示すように位相差がある。この位相差がジェットフラッタへのエネルギー供給に主要な役割を果たしている。

　振動数決定機構 自由液面の隆起の移動は隆起背後に残された流体塊と噴流の動きとの間に非平衡を生じさせる。したがって波の伝播と液面の段差が生じる。液面段差は水の上下運動を発生させる。これは振動数が壁で仕切られた同じ水深のタンクの液柱振動の振動数となる理由として班目ら⁽³⁾によって提案されたモデルである。本研究では上記の機構をシミュレーション結果を用いて検証する。

　圧力分布から有効液面位置の動きを求める。水平方向位置xでの流れ場についてシミュレーション結果から垂直方向圧力分布を求める。液面近傍では圧力は線形に減少していない。有効液面位置は圧力分布が線形な部分の延長線と圧力ゼロとの交点である。有効液面位置の例を図8に示す。実際の隆起位置が横に片寄っていても有効液面の形状は隆起位置においても平らである。2つの液柱が存在する。1つは噴流のx>0の側に入口から液面まで、もう1つはx<0の側に同じようにある。液柱は逆位相で振動し、垂直な動きが実際にあることが理解できる。

図表Figure 5 The Excitation Energy Distribution(Self-induced Sloshing-left and Stable State-right) / Figure 6 Jet Flutter(Simulation-left,Experiment-right) / Figure 7 The relation between swell motion and pressure difference across the jet / Figure 8 The Effective Free Surface

　垂直平面噴流により励起される自励スロッシングをALEコードによって正確にシミュレーションすることができた。スロッシング周期や発生条件、位相遅れ分布は実験とよく一致した。シミュレーションと実験の一致はシミュレーションで生じたスロッシングの発生機構が実際のそれと同一であることを示している。噴流の液面での位相遅れはスロッシング発生条件ではある範囲に入ることが分かった。スロッシングへのエネルギーの供給は原理的には噴流の不安定性にある。シミュレーション結果を用いてジェットフラッタにおける水の垂直方向の運動を抽出し、ジェットフラッタと液柱振動の相似性を示した。