温度Tの熱浴中におかれたマクロな物体は、熱浴中のミクロな分子等との相互作用によって、常に振動している。この熱振動のエネルギーは、どの自由度でも等しく、k_BT/2である。しかし、振動のスペクトルは、物体のもつ散逸などの性質を反映している。

　例えば、機械系の熱振動スペクトルは、系の共振周波数にピークをもつ。系のi番目の共振の、共振周波数における熱振動のパワースペクトル密度x²(_i)は、共振での散逸を表すQ値、Q_iを用いて、次のように表される。

　但し、k_Bはボルツマン定数、Tは温度、_iは共振角周波数、m_iは換算質量である。この式から、Q値が高い程、すなわち、散逸が小さい程、共振周波数における熱振動が大きくなることが分かる。また、振動のエネルギーは一定(＝k_BT/2)なので、共振周波数以外の周波数では、逆にQ値が高くなるほど、熱振動は小さくなる。

　共振周波数から離れた周波数における系の熱振動は、非常に小さく、直接測定された例は少ない。しかし、重力波検出のような精密測定では、共振から離れた周波数における熱雑音が、検出器の感度を決める深刻な問題になると予想されている。干渉計型重力波検出器では、干渉計を構成する鏡の固有振動は数10kHz以上になっている。しかし、この鏡の熱振動が、数10Hzから数kHzの重力波の観測帯域で雑音となる。この振動の大きさは、通常、モード展開を使って推定されている。モード展開では、系全体を独立な調和振動子の集まりとして扱っており、これを使うと、熱雑音は、次式のように表される。

　但し、()は散逸角で、^-1(_i)＝Q_iである。

　モード展開を用いた推定法では、散逸が一様で、モードが独立であれば、正しく熱振動を推定できる。しかし、共振以外の周波数における熱雑音推定を行う場合には、1.共振で測定された散逸の値から、興味のある周波数での散逸を推定するために、散逸の周波数依存性を仮定する必要がある、2.散逸の分布が非一様だと、モードが独立でなくなり、正確な推定ができなくなる、などの問題がある。

　本論文では、これらの問題を解決し、共振周波数以外の熱振動を実験的に調べる手段として、反共振を利用して機械コンダクタンスを測定する方法を提案している。この方法では、散逸の周波数依存性を仮定せず、散逸の分布が一様でない場合にも適用することができる。

　以下に、この推定法の原理、検証実験、応用実験をまとめる。

検証実験1.機械コンダクタンスの直接測定(本文第3章)

　反共振周波数では精度よく虚部が測定できるであろう、という考えを確かめるために、簡単な振動子を用いて、伝達関数の測定を行った。振動子は、真鍮の板ばねと質量を2段に組み合わせたものである。測定の結果を、図1、2に示す。2つの共振の間に反共振が現れ、反共振周波数では、精度良く伝達関数の虚部が測定できることを確かめた。また、この測定値はモード展開から計算される値ともよく一致した。

図表図1:2-mode oscillatorの伝達関数 / 図2:反共振周波数付近での伝達関数

検証実験2.熱雑音の直接測定と推定の比較(本文第4章)

　検証実験1.で、反共振で伝達関数の虚部を精度よく測れることを確認し、モード展開による推定値と反共振による推定が一致することを確認した。しかし、この推定法が正しいかどうかは、やはり直接測定された熱振動と比較しないと確かめられない。そこで、実際に熱振動を測定して推定値と比較した。熱振動は非常に小さいため、直接測定することは容易ではない。なるべく熱振動を大きくするために、実験1.で使用したものより小さな振動子を作成し、熱振動を直接測定した。結果を図3に示す。推定値と測定された熱振動はよく一致した。

図3:熱振動スペクトルの推定値と実測値

応用実験 干渉計型重力波検出器に用いる鏡の熱雑音推定(本文第5章)

　この方法を他の機械系へ応用して熱雑音を推定する場合には、

　1)興味のある周波数に反共振をつくることができるか

　2)どの程度高いQ値の材質にまで測定することができるか

　ということが問題になると考えられる。

　干渉計型重力波検出器に用いる鏡を例に、上記の問題を考えた。干渉計型重力波検出器の場合、興味のある周波数は、数10Hzから数kHzの観測帯域である。実際にTAMA300レーザー干渉計型重力波検出器に用いるのと同じ大きさの鏡を使って伝達関数を測定し、振り子モードと鏡の固有振動を組み合わせて、1kHz付近に反共振を作れることを確認した。測定された伝達関数を図4に示す。

図4:鏡の伝達関数

　本論文は7章からなり、重力波検出器の雑音をリミットしている原因の一つである熱雑音をより正しく推定する方法に関する研究を扱っている。調和振動子の熱雑音は、散逸揺動定理により、系の機械的パラメーター、即ち、質量、固有振動数、散逸が決まれば、系の温度を与えることにより、その大きさのパワースペクトルが決まる.通常の物体は、このような損失のある調和振動子の集合体とみなすことができるので、物体の振動モードに展開してそれぞれのモードに散逸を導入すれば、、散逸揺動定理が適用できて、熱雑音の推定が可能となる。しかしながら、この方法では、正しい推定ができないことがある。これを解決する一つの解を本論文では見出している。

　第1章は緒言である。第2章で散逸揺動定理をモード展開による各モードに散逸を付加して適用するという通常の方法を述べ、これを2自由度の簡単な系に適用し、散逸がモード毎に一様であれば、直接に計算されたものと良く一致するが、散逸がモード毎に一様でない場合や散逸が周波数による場合には、ずれが大きくなることを示している。このようなモード展開の問題を回避するために、機械系のコンダクタンスを直接測定する方法を提案している。コンダクタンスの直接測定では、系の力から変位への伝達関数を測定することになるが、その虚部が重要である。しかし、振幅の大きい共振があるとそのメリットファクター(機械的Q)の分だけ大きい実部が存在することとなり、測定系のわずかな不備で測定誤差が大きくなる。このため、これが精度良く測れる反共振点に着目し、この点の周りでコンダクタンスを測定することとする.第3章では、機械コンダクタンスの直接測定を2つの共振をもつ板ばねからなる系を作製して行った実験について述べており、反共振点でコンダクタンスが測定できることを示した。なお、ここでの測定値はモード展開によって得られる値とよく一致しており、この方法の正しさが確認された。第4章では、機械コンダクタンスの測定値から推定される熱雑音が、正しいかどうかを確認するため、熱雑音の比較的大きい軽い振動子を用いた実験を行っている。測定値は、モード展開による推定値並びに機械コンダクタンス測定値からの推定値それぞれに良く一致していた。第5章では、上記方法を干渉形型重力波検出器TAMAに応用して、鏡の熱雑音を推定する。このためには、TAMAの鏡の機械コンダクタンスを測定することが必要であり、マイケルソン干渉計を用いて測定を行い、種々の雑音の影響も調べた。その結果、機械的Qが1000程度なら、実測可能であることを示すことができ、熱雑音の推定が可能となる。しかし、機械的Qが10の6乗を越えると1Hzのバンド幅で10のマイナス17乗メートルの感度が必要となり、現存の測定系では測定できない。しかしながら、この変位レベルは熱雑音の直接測定よりも3桁大きいので、測定系に対する負担がその分軽くなるというメリットがあることが示されている。第6章は、ここで提案した方法の特徴や利点を検討し、今後の応用先を考察している。第7章は結論である。

　以上、本論文により、これまでモード展開による熱雑音推定に加えて、系のコンダクタンス直接測定による推定という、新しい推定法が加えられたことになる。

　なお、本論文の第3章、第4章で記述されている内容は、大塚茂巳、河邊径太、坪野公夫の各氏との共同研究であるが、論文提出者が主体となって、実験、解析を行ったもので、論文提出者の寄与が十分であると判断する。

　したがって、博士(理学)の学位を授与できると認める。