代数多様体に付随する重要な不変量のひとつに代数的サイクルがある.代数的サイクルとは既約閉部分多様体の集合上の自由Abel群であるが,それを有理同値でわったものをChow群と呼ぶ.正確には.多様体Xの余次元dのChow群は

　と定義される.ここでXⁱは余次元iの点の集合であり(x)はxの剰余体である.特にd＝1の時はPicard群と一致する.体上の完備,非特異な代数多様体のPicard群はNeron-Severi群のAlbanese多様体と呼ばれるAbel多様体の有理点のなす群による拡大で記述される.特に代数体上の場合は有限生成である.

　一般にd2の時のChow群の構造はよくわかっていないが,余次元2のChow群のねじれ部分については,Blochの方法[Bl](引用は論文のReference参照)により完全系列:

　が存在する.ただし,NH³(X,Q_p/Z_p(2)):＝Ker(H³(X,Q_p/Z_p(2))→H³((X),Q_p/Z_p(2))).

　代数体上の射影的,非特異な多様体のChow群は有限生成だと予想されるので,特にねじれ部分は有限であるはずだが,を満たすものについては,Colliot-Thelene-Raskind[CT-R],Salberger[Sa]らによってCH²(X)_torが有限である事が示されている(1991).それ以外の場合にはこの種の一般的な結果はないが,Langer-斎藤[L-S]により半安定なQ上の楕円曲線Eの積E×Eの場合に有限性が示された(1996)

　この論文の目的のひとつは,彼らの方法を応用して次の定理を証明することである.

　で定義されるQ上のFermat 4次曲面をFとし,K＝Q(),F_K＝F_QKとする.このとき,p|6に対してp巾ねじれ部分群CH²(F){p}とCH²(F_K){p}は有限である.

　この定理は,(1.1)より群が"十分大きい"ことより従う(F_Kの場合も同様.以下,Fの場合のみ解説する).

　そのことを示すためにまず,localization完全列

　を考える.ただし,はZ[1/2]上のsmoothなモデル,F_l＝F_lである.次の定理がまず示される:

　定理2(＝Theorem 0.2).Ker(CH²()→CH²(F))およびKer(CH²(_K)→CH²(F_K))は有限である(_K＝O_K[1/2]とおいた).特に,任意の自然数nに対してCH²(F)およびCH²(F_K)のn-ねじれ部分群は有限である.

　定理1の証明の方針は,完全列(1.1)においてを示すことである.まず第一にこの2つの群をHochschild-Serreスペクトル系列によってGaloisコホモロジーに埋め込み,第二にそれらを全ての素点で局所化して調べる.つまり

　による像を比較する.この射の核がBloch-加藤のSelmer群S(Q,A)である[B-K].ただし,はl≠pの場合は不分岐部分の加除部分,l＝pの場合はFontaineのp-進周期の環B_crisを用いて定義される.

　Langer-斎藤の方法とp-進Hodge理論の比較定理などにより,2つの群のへの像が等しい事がわかる(Proposition 3.7).

　しかし,E×Eの場合との大きな違いはSelmer群が有限でないことである.よって,定理1を導くにはSelmer群を生成するの元を構成する必要がある(定理3).

　代数的サイクルはまた,モチヴィック・コホモロジー群の一種ととらえることができる.すなわち,

　である.ここでは,代数的K-理論を用いて

　と定義する.ただし,添え字^(r)はAdams作用素による固有空間への直和分解の成分を表す.

　モチヴィック・コホモロジーは,現代の数論の主要なテーマのひとつであるL-関数との関わりにおいても重要である.古典的な類数公式,Tate予想,Birch-Swinnerton-Dyer予想,等を一般化する予想は,Bloch,Deligne,Beilinson,加藤らによって与えられている.予想によると,解析接続されたL-関数の整数点での零点の位数と値(Taylor展開の最初の係数)は,モチヴィック・コホモロジー群からのregulator写像によって表される

　今の場合ではそれぞれのregulatorが同型

　を導くというのが予想[Be][B-K]の一部である.記号を説明する:"整部分"はZ上の正則なモデルのK-群(今の場合はK₁)からの像である.homはホモロジー同値,はDeligneコホモロジー群,はSelmer群のQ_p係数版であり,が成り立つ.また事実として,であることに注意.予想を認めると,関数等式と代数体上のTate予想(今の場合は既知)とDeligneコホモロジーの基本的な性質より,

　が従う.つまり,Selmer群はモチヴィック・コホモロジー群を通してL-関数の零点を記述する.

　これらの予想と両立する次の定理を示すことがこの論文のもう一つの目的である:

　であり,には2つ(resp.4つ)の元が存在しそのp-進regulatorでの像がSelmer群S(Q,A)(resp.S(K,A))の加除部分を生成する.

　証明のポイントは,Fermat 4次曲面をあるCM楕円曲線Eの積に附随するKummer K3曲面に幾何的に関係づけることである.従って,全ての結果はまずCM楕円曲線の積に対して示され,次にそのKummer曲面に対して,最後にFermat 4次曲面に対して導かれる.

　まず第1章ではKummer曲面について復習しこの場合に定埋2と同じ主張を導く.

　第2章ではFermat 4次曲面をKummer曲面と関係づけ,Neron-Severi群の生成元を具体的に求める.そのことによりGalois表現V＝H²(,Q_p(2))が(V_p(E)はTate加群)と具体的な因子類で記述される.K-理論の積写像

　によって得られる元はdecomposableであるといわれ,(1.2)の∂との合成

　はPicのspecializationとQの付値から誘導される射と一致する.従って,定理2を示すためには,(有限次拡大しても)specializationで得られないようなPic(F_l)の元に対しindecomposableな元が必要であるが,それらは,Flach[Fl2],Mildenhall[Mi]によってモジュラー曲線とモジュラー単数を用いて構成されたの元の引き戻しで十分なことがわかる.

　第3章ではより数論的な考察がなされる.Rubin[Ru]によって示されたCM楕円曲線に対する2変数岩澤主予想に関する結果[Dee][Fl1]を用いてSelmer群の計算をする.Langer-斉藤の方法を用いてp-進regulatorの像を調べ,定理1を示す.最後に,ある因子類と円分体の単数を用いてモチヴィック・コホモロジーの元を作り,定理2の証明を完成する.

　なお,Selmer群が有限でない理由は,それらの因子類がQ(₈)上でしか定義されない(従ってVがのような表現を含む)ことと,完全列(kは代数体)

　によって説明できる.

　この論文の方法は参考論文[O]で一般化されている.すなわち:

　定理4.代数体k上の射影的,smoothな多様体Xと整数0ddimXに対して

　とおく時,r1に対して

　であり,その数をNとおくとにN個の元が存在しそのp-進regulatorでの像がS(k,A(r))の加除部分を生成する.

　この結果は本論文のようなSelmer群が有限でない場合のゼロ・サイクルの研究に有用であると思われる.