In recent years, Bayesian statistics has been popular in statistics since the Gibbs sampler, one of Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods, is introduced as a sampling scheme for the posterior distribution. From a Bayesian point of view, statistical inference on model parameters are conducted on their posterior distribution. It is sometimes the case that this posterior distribution is a nonstandard one and is difficult for us to make statistical inferences. Thus, the classical Bayesian approach mainly focuses on models with so-called natural conjugate prior distribution where the posterior distribution is mathematically tractable. Such situation had been totally changed since MCMC methods, especially the Gibbs sampler and Metropolis-Hastings (MH) method, have been brought into this area. MCMC technique with the development of computing power makes it possible to analyze virtually any posterior distributions, and comprehensive researches are carried out to examine many statistical problems under the light of Bayesian statistics.

When we turn to econometrics, many statistical models used in this field, such as discrete choice and censored regression models, are also analyzed by Bayesian approach with MCMC. One advantage of Bayesian approach in econometrics is its flexibility to complex models. For the case of multinomial Tobit models described in later chapters, it is necessary for us to evaluate as many linear inequality constraints as observations when we estimate model parameters. Such inequalities are required for model parameter space being exclusively separated. Classical statistical procedures, such as the maximum likelihood estimation, however, are difficult to evaluate all these constraints in practice. Bayesian approach, on the other hand, can manage such situation by virtue of MCMC. Thus, this thesis takes Bayesian approaches to analyze multinomial Tobit models.

Tobit model is one of the most popular statistical models in econometrics and there are various extensions of the standard Tobit model. In terms of their form of likelihood functions, these models are classified into five types: from Type I to V Tobit model. Tobit model corresponds to various models in economics, and one of the most important applications is the model that includes corner solutions. When the economic model includes a point, for example 0, as one of optimal choices of an economic agent, its analogous statistical model has the positive probability on such point, and becomes one of five Tobit models. Multinomial Tobit models described in this thesis also have such corner solution models as their underlying economic models.

This thesis proposes Bayesian analyses of four multinomial Tobit models and one technical issue on a random number simulator often used in Bayesian econometrics. Empirical analyses are conducted for three of four Tobit models. Organization of this thesis is as follows.

In Chapter 2, we propose a Bayesian estimation method of demand functions under block rate pricing, focusing on increasing one. Under this pricing structure, price changes when consumption exceeds a certain threshold and the consumer faces a utility maximization problem subject to a piecewise-linear budget constraint. We apply the so-called discrete/continuous choice approach to derive the corresponding demand function. Then, its statistical model becomes a multinomial extension of Type V Tobit model. Taking a hierarchical Bayesian approach, we implement a Markov chain Monte Carlo simulation to estimate the demand function. Moreover, a separability condition is explicitly considered to obtain proper estimates. We find, however, that the convergence of the distribution of simulated samples to the posterior distribution is slow, requiring an additional scale transformation step for parameters to the Gibbs sampler. The model is also extended to allow random coefficients for panel data and spatial correlation for spatial data. These proposed methods are applied to estimate the Japanese residential water and electricity demand function.

Chapter 3 discusses a novel Bayesian estimation method for the residential gas demand function in Japan where the price per unit decreases as the demand exceeds certain thresholds. Such a price system is known as decreasing block rate pricing. The demand function under decreasing block rate pricing is derived by using the well-known discrete/continuous choice approach. However, because of the nonconvex budget set, the conventional approach imposes highly nonlinear constraints on the model parameters, thus making the maximization of the likelihood function under such constraints difficult to implement. To overcome this difficulty, we first apply the duality relationship in consumer theory, and approximate the conditional expenditure in order to linearize these nonlinear constraints. This linearized model becomes a multinomial extension of Type II Tobit model. Then, we adopt a Bayesian approach with the Markov chain Monte Carlo simulation in order to estimate the model parameters under linear constraints. Our proposed method is illustrated by a numerical example and is adopted to analyze the demand for residential gas in Japan.

Combining above two analyses, Chapter 4 proposes a multivariate modeling of the residential energy expenditure and its Bayesian estimation method. Residential energy resources, such as electricity and gas, are mainly provided under block rate pricing and the investigation on expenditure for energy resources has an important role in environmental policy makings. Nonlinear price schedules, however, prevented us from analyzing the residential energy demand. Previous chapters have shown that it is possible to examine single good's demand under block rate pricing. Thus, this chapter proposes a multivariate energy expenditure model under block rate pricing based on the discussion of single good's demand, and takes a Bayesian approach with Markov chain Monte Carlo method to estimate model parameters. Simulation and empirical analyses are a future work.

In Chapter 5, we focus on the friction model, a trinomial Tobit model. Friction model is one of the censored regression with censoring in small values and observing only large values. Previously, these censoring limits are assumed to be constant. This chapter extends the classical friction model to allow covariate dependent thresholds and, by adopting MCMC, proposes a Bayesian estimation method. Our procedure is illustrated by a numerical example and applied to analyze prime rate data in Japan.

Chapter 6 reviews and compares four simulators that generate random variates following the multivariate normal distribution subject to linear constraints. Such random numbers are often required when we conduct Bayesian statistical inferences. There are mainly two types of simulators to draw these random variates: one that applies the Gibbs sampler and the other that adopts Metropolis-Hastings method. Because simulators that utilize MH method jointly draw samples from the desired distribution, obtained sample moves freely in its state space and shows quick decay of its sample autocorrelation. In particular, numerical examples reveal that Block Sampler, a simulator with the recursively truncated multivariate normal distribution as its proposal, shows the best performance among these four simulators.

論文の内容

本論文では,被説明変数に打ち切りのある回帰モデルとしてよく知られるトービットモデルについて,さまざまな拡張が考えられている.トービットモデルでは,ある閾値を境界として被説明変数が観測されず潜在変数となるため,最尤法によるパラメータ推定を行うためには潜在変数に関して積分をして尤度関数を求める必要がある.単純なモデルにおいては積分して得られた尤度関数を用いて最尤法を簡単に行うことができるが,本論文で提案されている複雑なモデルにおいては追加的にモデルのパラメータに関する不等式制約の個数が観測値の個数と同程度と非常に多くなり,尤度関数の最大化を行うことが困難になる.この問題を克服するため階層ベイズ・アプローチを採用しパラメータに関する事前分布を設定し,また潜在変数を事後分布の一部に明確な形で取り入れてマルコフ連鎖モンテカルロ(Markov chainMonte Carlo, MCMC) 法というシミュレーションに基づく方法を用いた推定方法を提案している.具体的には,モデルのパラメータ及び潜在変数の事後分布から不等式制約を満たす形で確率標本を発生させ,その中から関心のあるパラメータの確率標本だけを用いて事後分布を求めることで,複雑な多変量事後分布から周辺事後分布を求め,パラメータに関する統計的推論を行う.また本論文では,確率標本の発生を効率的に行うことでモデルのパラメータの推定精度を改善する方法についても提案している.

まず第1 章では,マルコフ連鎖モンテカルロ法とベイズ計量経済学の最近の展開について,トービットモデルに関連する研究を中心に簡潔に概観するとともに,博士論文の概要を説明している.第2 章では,逓増型ブロック料金下における需要関数の計量経済モデルとその推定方法の提案を行い,水道・電気需要のミクロデータ(クロスセクション及びパネルデータ)を用いて実証分析を行っている.我が国における水道及び電気料金には基本料金があり,一定の使用量までは追加的な料金は課金されないが,一定量を超えると使用量に応じて追加的な課金が行われる.その際,単位あたりの料金はブロックと呼ばれるある使用量までは一定であり,その閾値を超えると次の定められた閾値までのブロックではまた一定である.水道料金や電気料金では使用量が増加するごとにブロックにおける単位料金が増加する,逓増型ブロック料金となっている.このとき消費者は区分線形予算制約式の下で効用最大化を行うことになるが,本論文では,消費者は各ブロックについてブロック料金を所与とした条件付き最大化問題を解いて最も効用の高くなるブロックを選択しているとし,離散連続選択モデルを用いて2 段階に分けて考える.第1 段階では,どのブロックで消費を行うかを決定するプロセスを順序プロビットモデルを記述し,第2 段階ではブロック内において潜在需要を価格と所得,そして選好の異質性に測定誤差を加えた回帰モデルで記述する.選好の異質性には,消費者に特有な変数,世帯の構成人数や住居における部屋の個数といった説明変数が用いられている.

特定のブロックを所与としたときには最大の効用を与える需要がブロックの端点となる場合が想定される.端点が下限である場合にはより少ない需要が,上限である場合にはより多い需要が潜在的にあることを意味する.離散選択モデルでは端点の選択も追加的に考慮されるが,実データでは端点が端点として観測されるのではなく,測定誤差を伴って端点付近で観測されると考えている.この端点の選択が存在する場合には,パラメータおよび潜在需要に関する不等式制約条件が必要となり,これを本論文では分離条件と呼んでいる.この分離条件は先行研究では全く認識されていない重要な条件であり,最尤法を行う場合には観測値の個数と同程度の不等式制約の下での尤度関数の最大化を行う必要がある.先行研究の多くは最も単純な(やや非現実的ともいえる)2ブロックの問題を考えているが,分離条件が考慮されていないため,推定結果は必ずしも妥当であるとは言えない.本論文では階層ベイズ・アプローチを採用して,MCMC 法を用いることで分離条件を課して推定を行い,且つ現実的な多くのブロック数(我国の水道料金では4~9,電気料金では3~4)のもとでの推定を可能にしている.またクロスセクション及びパネルのミクロデータを用いて動学的モデルの実証分析も行っている.

本論文ではモデルのMCMC 法による推定において計算負荷が非常に高く,マルコフ連鎖から得られる確率標本間の自己相関を減少させる,効率的な標本抽出方法が必要となる.このため,基本となるギブス・サンプラーの最後のステップに潜在需要や異質性を表す潜在変数やパラメータを一括して尺度変換することにより,確率変数の状態空間を大きく移動させることで標本抽出の効率性の改善を行っている.この一般化ギブス・サンプラーと呼ばれる方法が,マルコフ連鎖の不変分布を保存することが補論において証明されている.

第3 章では,使用量の増加と共にブロックにおける単位料金が減少する,逓減型ブロック料金下における需要関数のベイズ分析を行っている.予算集合が凸である逓増型ブロック料金とは反対に,逓減型ブロック料金のもとでは予算集合が凹であるため,第2 章の方法をそのまま適用することはできない.また対数線形条件付き需要を仮定するが,この場合Roy の恒等式により得られる効用関数が非線形になり,効用の最大化問題を解くためには非線形不等式制約をみたす領域が明示的には求まらない.このため本論文では双対性アプローチをとり,効用がある一定の値より大きいという条件のもとで,支出関数を最小化する問題を考慮している.支出関数はテーラー展開を用いて線形近似され,そのもとで最適ブロックが選択されるとする.第2 章と同様に分離条件を考慮したMCMC 法による推定方法を提案し,実証分析では逓減型ブロック料金体系をもつガス料金について都道府県の集計データを用いて,都道府県を経済主体とみなした場合の需要関数の推計を行っている.更にガス料金がブロック料金ではなく単一料金であった場合にガス需要がどのように変化をするかについても試算しており,料金体系の変化がガス需要量にあまり影響を与えないという結果を得ている.

第4 章では多変量モデルへの拡張を考えており,第2 章や第3 章で扱った電気需要とガス需要の別々のモデルを,エネルギー需要の同時モデルとして統合している.MCMC 法を用いることで,ある需要以外に関連するすべてのパラメータや潜在変数を条件づけることで,その需要に関連するパラメータや潜在変数の条件付き事後分布からの乱数発生は第2・3 章と同様に行うことができるため,従来の最尤法等では実行困難であったモデルの推定を可能にしている.

第5 章では,打ち切りのある回帰モデルであるトービットモデルにおいて,通常は一定または既知とされる打ち切りの閾値を,未知かつ説明変数に依存する拡張を行い,MCMC による推定方法を提案している.打ち切りが存在するためにパラメータには観測値の個数と同程度の線形不等式制約が生じるため,最尤法による推定は実行が難しくなるが,本論文ではベイズ・アプローチを採用してMCMC法を用いることにより,パラメータに関する統計的推論を可能にしている.また,トービットモデルの拡張として知られるフリクションモデルについて,閾値の上限及び下限が説明変数に依存するモデルについてもMCMCによる推定方法を提案し,我が国のプライムレートの変化の実証分析を行っている.実証分析では景気拡大期には銀行がプライムレートをより頻繁に変更することが明らかにされている.

第6 章では,切断された多変量正規分布からの効率的な乱数発生の方法について提案し,従来の乱数発生方法との比較を行っている.第2 章や第3 章のMCMC法においてパラメータをその条件付き事後分布から発生させる際には,より効率的な発生方法が求められており,その中でも線形不等式制約から生じる切断のある多変量正規分布からの効率的な乱数発生が重要となる.このため,従来の単純な条件付き一次元切断正規分布からの乱数発生を一つずつ行うのではなく,逐次条件付き分布を用いることによりベクトルとして同時に乱数を発生させるブロック・サンプラーを提案した.さらに別の方法として酔歩過程メトロポリス-ヘイスティングス・アルゴリズムを用いて,そのアルゴリズムで使用される提案分布を適応的に修正していくアルゴリズムも提案し,先行研究の乱数発生法と比較し,提案した方法のいずれも先行研究による方法より効率的であり,特にブロック・サンプラーが優れていることを示している.

論文の評価

本論文はトービットモデルの様々な拡張を行っており,これまで最尤法などによる推定の困難であったモデルについてベイズ・アプローチをとることにより推定可能にしたという点で大変意義深い.第2 章では,逓増型ブロック料金下での需要関数の推定を階層ベイズモデルを用いて行っているが,こうしたアプローチは先行研究にはなく,本論文により初めて採用されたものである.またパラメータの推定に際してこれまで考慮されていなかった分離条件を明示したことは重要な貢献である.

本論文のアプローチにより,従来では簡単な2ブロックまでのブロック料金下での需要関数の推定にとどまっているのがほとんどであったのに対して,ブロック数が多くても推定が可能となった.我が国の水道料金や電気料金のブロック数が4~9であることを考えれば,提案モデルとその推定方法により初めて現実的なデータの分析が可能になったということができる.特にミクロデータを用いた水道需要関数の推定は我が国では初めてであり,パネルデータを用いた動学的モデルの推定を行う先行研究はない.本論文ではさらに空間的相関構造をもつモデルも考察されており,その拡張性・新規性は当該分野のモデルとして重要である.ただし,提案された推定方法には計算負荷が高いという問題がある.勿論,本論文ではその負荷を減少させる理論的な工夫が試みられているが,十分に成功しているとまではいうことができない.今後はより一層効率的な確率標本発生の方法を開発していく必要があるであろう.第6 章で取り上げられている乱数発生の方法についてもその更なる改善が望まれる.

第3 章の逓減型ブロック料金下における需要関数の推定は,双対問題への置換と支出関数の線形近似という,まったく新しい視点から問題を捉え直そうとする独創的な論文である.ブロック数が3 以上のときには困難と考えられていた問題を解く1 つの糸口を与えると考えられるが,線形近似の妥当性についてはやや疑問が残る.今後は,線形近似の妥当性あるいは限界について評価をすることが望まれる.テーラー展開において1次だけではなく高次の項まで含んだ近似を行うことも選択肢の1 つとして考えられるが,一方でブロック選択のモデル化が複雑化してしまうため,あまり現実的ではないであろう.

第4 章の電気やガスといった複数のエネルギー需要が存在する場合の同時モデルについては先行研究がなく,提案されたモデルは重要なツールを実証分析に与えると思われる.しかし,論文では未だシミュレーション・データに基づくモデル評価にとどまっており,今後の実証分析が期待される.また第5 章の打ち切りの閾値が説明変数に依存するトービットモデルとその拡張であるフリクション・モデルの分析では,プライムレート変更の閾値がマクロ的な経済変数に依存するという実証結果が興味深いが,他のモデルとのDIC を用いた比較や事後予測診断によるモデルの妥当性の評価など,更なる検証が今後は必要であろう,

論文審査の結論

以上の評価では,宮脇氏の提出論文に対して全体的に高い評価を与えると共に,今後の課題や拡張の可能性について指摘がなされた.また提出論文の第2 章及び第5章は国際的に高く評価されている学術誌に投稿中でそれぞれ4 回目及び1 回目の改訂を行っており,また第6 章は国内の学術誌(日本統計学会誌の和文誌) に掲載がなされている.このように本論文の完成度は高く,本研究科が要求する博士論文の基準を十分に満たしていると考えられる.以上により,審査委員会は全員一致で本論文を博士(経済学)の学位授与に値するものであると判断した.

2009 年1 月