Human Capital as Age-Dependent Asset Mix and Optimal Life-Cycle Portfolio Policy

The largest component of household wealth consists of nontraded human capital. For a nation as a whole, returns to human capital (i.e., labor's share) are about 60% in national income. Although this is only a rough benchmark of the share of human capital in total wealth, labor income should play a central role in structuring household financial decisions. Human capital should be viewed as the core wealth, and households' financial wealth should be structured as a supplementary portfolio to make up the most desirable form of the total wealth portfolio. Investments in financial assets should act as a powerful tool for hedging the risk associated with nontraded human capital.

A key in understanding life-cycle pattern of household finance is the age-dependence of human capital. Although this observation is not new, past researches in this area paid relatively small attention on the risk characteristics of human capital.

Economic inquiries into agents' consumption and portfolio decisions originate in Samuelson (1969) and Merton (1969). Based on three basic assumptions, Samuelson and Merton showed that optimal portfolio weights are constant over the life cycle; in other words, optimal portfolio weights are neutral to investment time horizon.

Including labor income in the portfolio choice problem, several authors have shown that the Samuelson-Merton neutrality theorem is converted to a prediction that the share of bonds tend to rise with age up until retirement. Merton (1971) was the first in this line of argument. He showed that the optimal portfolio rule is still a constant-mix of the overall wealth if lifetime flow of labor income is capitalized at the risk-free rate and added to the financial wealth. Since the human capital thus defined is risk-free and very large for young workers, they tend to have less bonds and more stocks in their financial wealth. While the goal of this activity is to ensure that the share of risky assets in the overall portfolio remains constant, the share of stocks in the portfolio of financial assets tend to decline toward retirement.

This view has laid a theoretical foundation for the typical financial advice that as workers age their portfolio's allocation should shift from primarily stocks, to a balanced portfolio, and then to a primarily bond portfolio. The fast grown financial product of the mutual fund industry, life cycle funds (also called target date funds), is based on this exact premise. Indeed, one often-quoted strategy suggested by financial advisors is that investors should place (100-age)% of their wealth in a well-diversified equity portfolio.

Cointegration "school" offers a different perspective. They propose a model in which labor income and stock market returns are cointegrated. For young workers cointegration has numerous opportunities to act over business cycles until retirement, and so young worker's human capital effectively becomes stock-like. In contrast, for older workers with shorter times to retirement, cointegration does not have sufficient time to act, and thus their human capital becomes more bond-like. Two conclusions follow from this observation. First, it supports the empirical finding that the growth rates of labor income and stock returns are very highly correlated over longer horizons, even though their correlation is low in short horizon. Since human capital is the capitalization of future income streams, this is almost equivalent to saying that the correlation of stock returns and the returns to human capital can be high even if it is low in a short horizon. Second, cointegration brings strong implications to agent's portfolio behavior.

We question whether the human capital is bond-like and therefore a proper account of human capital calls for more investment in stocks. We propose an alternative model of stochastic labor income with the following basic insight. Unlike liquid asset prices, movements of labor income are sluggish and are more or less foreseeable in the short run. Large uncertainty of a worker's labor income in a longer horizon is a result of accumulation of short-run fluctuations of economic conditions. A young worker has many years to go and his future labor income picks up the impacts of temporal economic shocks and accumulates them over a long horizon. Then, the fluctuations of labor income over a horizon is very similar to the fluctuations of balance of a money market account over time, except that the temporal fluctuations of labor income are driven by equity-related shocks while the temporal fluctuations of money market balance are driven by shocks in short-term interest rate.

Majority of authors analyze the problem of optimal life-cycle portfolio decisions in discrete-time models and rely on numerical optimization algorithms to obtain qualitative predictions and conclusions. Such an approach restricts the depth of understanding the nature of the optimal decisions as well as insights into results of comparative analysis. We attempt to offer the simplest model which permits analytical tractability and yet maintains the key economic ingredients. We use the martingale method developed by Karatzas et al. (1987) and Cox and Huang (1989) to represent the optimality condition. We then derive a closed-form formula for the optimal consumption and portfolio policy with the help of Malliavin calculus following a procedure developed by Ocone and Karatzas (1991) and Detemple et al. (2003, 2005). The Malliavin derivative is particularly useful to analyze the exposure of human capital to various risk factors and to investigate how the exposure changes over the life cycle. The age-dependence of the risk exposure combined with the age profile of the magnitude of the value of human capital generates the optimal life-cycle portfolio policy.

Our main focus is to investigate the factors which determine portfolio rules over the life cycle, whether the optimal stock holdings should decline as workers age as more traditional models predict, or they exhibit hump-shaped life-cycle stock holdings as the cointegration literature predict. We assume a constant investment opportunity set in the sense that stock prices evolve according to geometric Brownian motions. We also assume that the short-term rate of interest is constant. Another key assumption is that households have time-additive constant relative risk aversion (CRRA) utility functions. We will see that the CRRA assumption generates the simple but perspicacious property that the optimal portfolio policy is to maintain constant portfolio weights on risky and riskless asset on overall wealth which includes human capital, and that this property does not depend on the market completeness. We will carry out the investigation both in complete and incomplete market settings.

We find that both of the two regimes, the declining stock holdings and the hump-shaped stock holdings, can emerge when labor income risk has a component which cannot be hedged by any set of stock portfolios. When the unhedgeable component is a relatively small fraction of the overall labor income risk, the optimal fraction of stock holdings depicts a hump shape over the life cycle. In contrast, when the unhedgeable component dominates the overall labor income risk, the optimal fraction of stock holdings becomes a decreasing function of age. Our finding suggests that which life-cycle portfolio policy contributes to the maximum household welfare rests on the extent of market completeness, or the breadth of opportunities that the financial market offers to hedge the labor income risk.

Investment Frictions versus Financing Frictions

Frictions are the primary theme of the theory of the firm and corporate finance. In the past four decades, there has been a flood of theoretical as well as empirical studies on how investment frictions influence the dynamics of corporate investments. In contrast, how financing frictions influence corporate dynamics is a recent topic of research and has been studied mostly via numerical approach which provides realistic but intractable analysis.

Jorgenson's formulation of a dynamic investment problem (Jorgenson (1963)) is where our construction starts. In his classical model the firm can adjust her capital stock without any frictions, and this absence of frictions makes firm's optimal investment policy to be a purely static one in which the marginal product of capital equals the user cost of capital.

The firm's decision becomes a truly dynamic problem, in which anticipations about the future economic environment affect current decisions when frictions prevent instantaneous and costless adjustment of the capital stock. Bertola and Caballero (1994) introduced "irreversibility" of investment in the sense that the firm cannot sell its capital stock. This is equivalent to assuming that the selling price of capital is zero. Abel and Eberly (1996) generalized this model to the case of "costly reversibility"; namely the firm can sell its capital stock but at a price less than the purchase price. They were successful in showing that frictions are the source of nonlinear and intermittent investment dynamics

In this paper, we pursue the other direction of introducing financing frictions to Jorgenson's model. "Irreversibility" in our model means that the firm may return cash to stockholders by paying dividends or buying back shares but cannot obtain additional cash from stockholders by issuing new shares. "Costly reversibility" means that the firm can finance externally but at some cost. Readers will see that our development goes very much in parallel with the irreversible investment literature. Yet, by introducing financial frictions our formulation naturally includes financing decisions as well as investment decisions, which is in contrast to the optimal investment literature. In this regard, the benchmark Jorgenson's model may as well be called the Modigliani-Miller model in our context.

We construct a model of an equity-only firm who must pay a linear financing cost for issuing new shares. We show that the firm's optimal investment-financing is a two-trigger policy in which the firm finances its investment by issuing new shares (supplementing internal funds) when the shadow price of capital hits the upper trigger value. When the shadow price hits the lower trigger value, she sells a portion of her capital stock and buys back shares (or pays dividends). Values of the shadow price of capital between the two trigger values define a range of "inaction", in which the firm does neither issue nor buy back shares and invests all of her internal funds for expansion. Analytically we work on the Hamilton-Jacobi-Bellman equation to characterize the optimal investment and financing policy. We will show that financial frictions force the shadow price of capital to satisfy a second-order ordinary linear differential equation, which is dual to the one generated by investment frictions.

A Dynamic Theory of Pecking Order Financing

Intertemporal considerations have important consequences in studying the connection between corporate finance and investment. In this paper, we extend the dynamic model of "Investment Frictions versus Financing Frictions" to include transactions with banks so that funds for investment can be taken from (1) internally generated cash flows, (ii.) newly borrowing from banks or (iii) raising additional equity. We assume that the firm may incur a linear financing cost whenever she finances by issuing new shares: Our model also gives the firm a choice of how much to pay out versus how much to retain. Thus the firm can choose reserving any residual cash flow in her bank account or paying out it as dividends to the equityholders.

By solving the optimization problem, we obtain three main findings. First, the firm's optimal financing forms dynamic "pecking-order": the firm pays to finance as possible through internal funds and then to finance the excess of investment over internal funds with debt. Equity financing takes place only at the upper trigger, as part of appropriation of net income. And thus, contrary to the target adjustment school, the optimal leverage is path dependent. We show that the business condition relative to the current size of the firm will help to pin down the firm's optimal leverage. Second, there is another strict ordering in regard to the firm's residual cash flow: the firm prefers to preserve it in her bank account, and distribution occurs only at the lower trigger. Third, we find that when firms can have transactions with banks they have more chance to realize the Jorgenson's optimal level of capital.

佐井りささんは確率的動学モデルを駆使し最適化問題を解析的に解くことによって、家計の資産選択問題および企業の資金調達行動のメカニズムを解明し、金融経済学の理論的側面において極めて独創性の高い優れた学術的貢献を行った。よって、提出された佐井りささんの博士論文が博士学位授与に値するものであると審査委員は全員一致で判断した。

本論文は3章から構成されており、第1章は家計の資産選択、第2章および第3章は企業の資金調達行動を扱っている。以下において、各章の内容を概観し、評価を述べる。

第1章:Human Capital as Age-Dependent Asset Mix and Optimal Life-Cycle Portfolio Policy

この章では、論文中で生涯労働収入の経済価値と定義される「人的資産(human capita1)」の性質を再検討し、人的資産のリスク特性が年齢とともにどのように変化し、その変化が家計の最適な金融資産ポートフォリオにどのような影響を与えるのかを分析している。

米国では、「(100一年齢)%ルール」を確定拠出型年金(401K年金)の運用方針のデフォルトとする考え方が政府主導で普及している(Presidential Report 2005,U.S. Department ofLabor 2006)。これは、若いうちは株式への投資割合を高くして、年齢の進行とともに債券や短期資産への投資割合を増やしていくというもので、そうした方針に沿って401K資産を運用するのがライフサイクル・ファンド(別名ターゲットイヤー・ファンド)である。

Merton(1969)とSamuelson(1969)が開拓した最適投資理論によれば、標準的な仮定((1)CRRA効用関数、(2)投資機会にリターンのミーン・リバージョンやボラティリティの確率的変動がない)の下では、株式、債券、短期資産への最適な資産配分比率は生涯を通じて一定(Constant-Mix Strategy)となる。この理論モデルに退職時までに受け取る労働収入の存在を組み込むと、年齢とともに株式から債券・短期資産にウェイトを移していく上記の投資方針が最適となる。現在の金融経済学では、これがライフサイクル・ファンドの運用方針の合理性を基礎づける主流の考え方となっている(Merton(1971), Bodie, Merton and Samuelson(1992),Campbell and Viceira(2002)など)。

この理論的帰結は、将来にわたって労働収入を生み出す人的資産が、賃金の硬直性ゆえに安全資産に近い特性を持つ資産であることと、ならびに若・壮年者は金融資産に比べて人的資産を豊富に所有することからもたらされる。本論文では、人的資産が生涯を通じて安全資産に近いリスク特性を有するわけではなく、若・壮年期は株式に近いリスク特性を持ち、退職が近づくとともに安全資産的なリスク特性にその性格を変えるものであることを理論的に明らかにしている。

主流の理論的研究では労働収入を非定常の拡散過程、ないしはAR1過程と捉える。この種のモデルからは、労働収入と株式市場の短期の相関が長期の相関に等しいという含意がもたらされる。しかし、この含意は、両者の相関が短期的ホライゾンでは小さいが長期で見ると大きくなるというよく知られた実証結果と矛盾する。本論文では、労働収入は瞬間的には確定的な動きをする有界変動過程(finite variation process)と考え、その代わり労働収入の成長率にブラウン運動から生成される伊藤過程の要素を導入する。また、この分野の大半の研究が数値計算によって解を求めているのに対して、本論文ではMartingale法とMalliavin Calculusを組み合わせて問題を解析的に解くことで、最適投資戦略の性質や諸仮定の経済的含意を明確に示している。

本論文の重要な結論は次の二点である。第1に、労働収入を考慮に入れる場合、金融資産と(将来の労働収入の経済価値と定義される)人的資産を合計した家計の全資産に対してConstant-Mix Strategyをとるのが最適となり、さらにこの性質は市場の完全性に関係なく成り立つ。第2に、全資産に関して"Constant-Mix"を保つために、金融資産のうちどのくらいの割合を株式に投資するかは、人的資産の性質に大きく依存する。労働収入リスクが金融資産によってほぼヘッジ可能な場合(完全市場に近い場合)には、金融資産のうち株式に投資する割合は、若年期は低く、壮年期に向かって増加し、退職期が近づくと減少に転じるという、「コブ型」の形状を示す。一方、人的資産のリスクの大部分が株式によってヘッジできない場合(市場の不完全性が強い場合)には、金融資産のうち株式に投資する割合は年齢とともに減少する。

日米家計の金融資産運用の実態調査によれば、株式への投資比率はコブ型に近いとされるが、これを本論文に即して解釈すると、労働収入の変動リスクをヘッジする金融手段が金融資産市場で豊富に提供されている場合に起きる現象であると解釈できる。また、日本ではとりわけ株式保有が高齢者層に集中しているが、これは日本の賃金体系が年功序列型で、若年者の人的資産が株式に近いリスク特性を強く持つためであるという解釈も可能になる。逆に言えば、終身雇用と年功序列という日本の労働慣行が崩れていけば、家計の資産運用はターゲットデート・ファンド型が望ましくなると言うことができる。

このように本論文は、Merton以来40年にわたって注目を集めてきた家計の資産選択理論に独自の視点を付け加えて、極めて興味深い結論を導き出している。この分野の研究の一段の発展に寄与する論文であると評価することができる。

第2章:Investment Friction sversus Financing Frictions

第2章および第3章は、企業の資金調達と設備投資の意思決定について、興味深い結論を導き出している理論論文である。

企業の資金調達行動を説明する理論にはTrade-off TheoryとPecking-order Theoryという相対峙する理論がある。Trade-off Theoryとは、負債によるプラスの側面(節税効果)とマイナスの側面(倒産リスクの増大にともなう倒産コストの期待値の上昇)のトレードオフで最適な資本構成が決まるとする理論である。一方、Pecking-order Theoryは情報の非対称性から、企業の資金調達には(1)内部資金、(2)借入、(3)新株発行という優先順位があるとする理論である。しかし、これらはいずれも静学的な理論であり、企業が資金調達に迫られたときにどのような手段を用いるべきかを説明するが、いつどのようなタイミングで株式発行や株式買い戻しなどのfinancingactionをとるべきかという問題には答えない。

本論文は、動学的なモデルによって、企業の資金調達のタイミングと資金調達方法を同時に説明している。具体的には、自社株買い戻しや配当支払いにはコストがかからない(ないしはかかるコストが小さい)が、株式発行によって外部から資金を調達するときにはコストがかかる(ないしはかかるコストが大きい)という、非対称な金融的摩擦(financing friction)があるときに、企業はいつ、どのように資金調達をするべきかという問題を解いている。当然のことながら、金融的摩擦がない場合には、本論文で展開されるモデルの帰結はModigliani-Millerの定理に還元され、企業価値は資金調達方法に中立となる。

第2章では、企業の資金調達方法を株式発行に限定して、金融的摩擦が企業の資金調達および設備投資に与える影響を分析している。これは、銀行からの資金借入れの道が閉ざされたベンチャー企業のケースと解釈することが出来る。

理論的に導かれる結果は次の通りである。企業は現在のビジネス環境に比較して資本ストックが大きく不足しているとき(トービンの限界qがある上限値に達するとき)にのみ、内部資金に加えて株式発行によって資金を調達して大幅な投資を行う。一方、そのときのビジネス環境に比較して資本ストックが過剰であるとき(トービンの限界qがある下限値に達するとき)にのみ、余剰資金を株式買い戻しや配当の形で株主に還元する。また、資本ストックが不足でも過剰でもない場合(トービンの限界qが上限値と下限値の間にあるとき)には、株主との間で資金のやりとり(株式の発行や買い戻し)を行うことはせずに、留保利益の全額を投資に回す。なお、資本ストックの過不足を判断する基準はそのときのビジネス環境に依存して内生的に決定される仕組みになっている。

本論文では、金融的摩擦の存在によって、企業の資金調達行動の様相が伝統的な財務理論が予測するところから大きく乖離してくること、特に株式の発行や買い戻しなどの財務的行動が、断続的で過去の経路に依存するヒステリシス(履歴)現象となることを明らかにしている。設備投資の非可逆性や資本調整費用の存在に注目して企業の設備投資行動の動学的性質を明らかにしたマクロ経済学の理論的研究をコーポレート・ファイナンスの問題領域に拡張した意欲的な試みで、様々な展開が望まれる理論研究である。

第3章:ADynamic Theory of Pecking Order Financing

第3章のモデルでは、株主とのやり取りのほかに銀行との取引も可能な、より一般化したモデルとなっている。よって、企業が外部から資金調達をする必要に迫られたときには、新株発行のほかに銀行からの借り入れを選択することが可能である。また、余剰資金についても、株式買い戻しや配当による株主への還元と銀行に預金するという二つの選択肢がある。分析をこのように拡張するには第2章の論文で用いられた理論モデルをそのまま拡張して利用することができない。それは状態変数の取り方を大幅に変更する必要があるからである。そのために、新たな論文を執筆して分析を展開する必要が生じている。

本論文で導かれた重要な結果は次の通りである。まず、企業の資金調達には(1)内部資金、(2)銀行借入、(3)株式発行という「Pecking-order理論」と同じ序列があることが示されている。情報の非対称性からこの現象を説明したMyers and Majluf(1984)と違って、この論文では、株主との資金のやり取りに非対称にかかる金融的摩擦が、企業に新株発行を敬遠させ、借入優位という資金調達方法の序列を生じさせる。借入の場合に借入額の増加・減少に対して支払金利の増減が対称であることが、「借入〉株式発行」という序列を作り出すことが明らかにされる。また、この非対称な金融的摩擦により、企業の余剰資金に関しても(1)銀行預金、(2)株式買い戻し(または配当支払い)という序列があることも示されている。企業の余剰資金の配分方法にこのような優先順位があるということを理論的に導き出したのは、この論文が初めである。

本論文のように、企業の資金調達と設備投資を同時に含む動学的モデルを使った先行研究にはWhited(2006)、Hennessy and Whited(2005,2007)、Bolton,Chen and Wang(2009)などがある。しかしながら、これらの先行研究はいずれも企業の最適問題を数値計算によって解いているために、得られた結果に潜む「Pecking-order」のような性質やそれを生み出す経済学的なメカニズムを捉えることが出来ない。それに対し、企業の資金調達と設備投資の関係および金融的摩擦が両意思決定に及ぼす影響を、動的最適化問題を解析的に解くことで理論的に解明したことに、本論文の大きな学術的価値がある。

以上により、提出された論文は3本とも理論的独創性が極めて高く、博士号を授与するに十分に値するものであると、審査委員の全員一致で結論した。なお、これらの論文はいずれもアジア・ファイナンス学会および日本ファイナンス学会で報告され、討論者の高い評価を受けた。なお、佐井りささんは、2011年4月より大阪大学大学院経済学研究科に常勤講師として着任する予定であるが、3本の論文ともに完成度をさらに磨き上げて第一級の学会誌に投稿することが期待される。