1次元N粒子系のcoupled mapで大域結合をもちsymplecticであるものとして、粒子i(＝1,2,…,N)の座標x_iと運動量p_iの時間発展が次式で定義されるものを考える。

　K>0では引力の、K<0では斥力の長距離相互作用を持つ。この系は、図に示す様に、|K|が小さい時には初期条件により、粒子間の相関がほとんど無い相(無秩序相)あるいは非常に強い相(秩序相)の2通りの運動形態を持つ。K>0(引力)の場合には秩序相では粒子が1つの大きなクラスターを作って運動する。

図表図1:秩序相での運動 / 図2:無秩序相での運動

　系の軌道不安定性を特徴付けるリヤプノフスベクトルが正の値を持つ事に依り、秩序相・無秩序相ともにカオスである事が分かった。系が多自由度であるために、ふたつのカオス状態は相空間内で繋がっている。その結果、系は秩序相と無秩序相の間を時間的に行き来する事になる。秩序相に滞在する時間の分布はべき的であり、特徴的な滞在時間スケールというものは存在しない。一方、無秩序相への滞在時間分布は指数的であり、無秩序層から秩序層への移行過程は乱数で駆動される系と本質的に等しい。

　リヤプノフ数そのものから系がカオスであるか否か以外の情報を得るのは難しく、そのために測ってもあまり意味がない量とも考えられるが、リヤプノフ数の揺らぎの振る舞い、および、リヤプノフ数に属する固有ベクトルを吟味する事により、系の動的な振る舞いに対して有意義な情報を引き出す事が出来る。まず、固有ベクトルからは、系全体の軌道不安定性をクラスター秩序構造の運動の不安定性という巨視的な不安定性と、内部粒子の相対運動に関する局所的な不安定性に分離する事に成功した。次に、リヤプノフ数の揺らぎの性質を調べる事により、秩序層ではべき的な長時間相関があるが、無秩序層ではそれが無い事が分かった。

　さらに、秩序構造の相空間内での分布の様子を直接測定する事により、この秩序構造は、KAMトーラスや周期軌道の階層の残骸にトラップされている事が分かった。これまで記してきた様に、他のデータから調べられた性質も、秩序層がKAMトーラス近傍のカオス領域の性質を強く持っている事を支持している。

　まとめると、秩序相・無秩序相の違いは結局は相空間の中に2種類の異なる性質のchaotic seaが共存している事から来る。秩序相側はハミルトン系の自己相似的な相空間構造を反映したものであり、もう一方はほとんどホワイトノイズ的なものである。その様子は次の表にまとめられる。

2種類のカオス領域

　秩序層・無秩序層それぞれの性質が分かったので、それらの間の遷移課程を調べてみた。系がある状態から別の状態へ遷移する際に、それが熱的な揺らぎが重なって起きるのかそうではないのかを考えてみたい。もしも熱揺らぎが主な要因であれば、高次元の配位空間にポテンシャル関数を考えてそのバリアを超える確率をボルツマンウェイトで評価する事が出来よう。一方、系の内部で相関が強い場合にはその様な方法が採れない事が予想される。

　ここでは構造遷移の際の協同性を見る手法をテストしてみた。K>0の場合にクラスターが崩壊する過程での、各粒子ごとのリヤプノフベクトルを見てみる。これは、系の不安定性が増大する方向を調べている事になるので、揺らぎが協同的なものかそうではないものかを判断する事が出来ると考えられる。結果は非協同的であった。これは、クラスター→乱雑という、秩序→無秩序の遷移であるためと考えられる。水や微粒子の様に、複数の秩序相を顕著に持つ系でその秩序相たちの間の遷移過程を調べてみると良いかも知れない。

　この研究で用いた手法では、どれか1つの特性量の1つの値(例えば平均値)で系を判断すると言うよりは、その量の相空間内での分布の様子を調べる事を重視した。いわば、相空間を解剖してダイナミクスとの関連を調べるというこの手法は、primitiveではあるが強力である。

　この論文では、ハミルトン系のカオスで秩序形成が可能である事を示した。これは2つの意味で新しい。まず、ハミルトン系の振る舞いとして新しい事。ハミルトン系の振る舞いとしてこれまで良く知られていたのは1/f揺らぎ的な長時間相関を持った運動と、熱平衡状態である。空間的な秩序構造をもった運動は両者どちらにも含まれない。また、秩序形成を保存系の枠内で論じたという点も新しい。もう一つは、「カオス」と「秩序」という、一見正反対の性質を統合した運動を発見し、その運動が可能である理由を理解した事。この運動の本質は、異なる性質を持った複数のカオス状態の共存にある。一つのカオス状態が相空間全体を占める場合には、系の運動は概ね一様で対称的な乱雑な物になりがちである。が、複数のカオス状態を共存させ、それぞれに系がしばらく留まる様になっている場合には、カオスによって対称性を破った状態が存在し得る。

　今後の課題としていくつか挙げられる。まず、高次元のハミルトン系のダイナミクスを理解する方法を更に開拓する事、秩序状態が複数あるような系で、構造転移のダイナミクスを探る事、具体的な系への応用を考える事、などがある。天体力学系への応用はすでに一部試みられ、楕円銀河の回転対称性が破れている事の説明として提案されている。

　ハミルトン系が熱平衡に近づくことが保証されるには一般に次のことが期待されている。

　1)等重率の原理を満たすために軌道は、位相空間を経巡る、すなわち、カオティックであることが必要である。

　2)初期値によらずに熱平衡にすみやかに近づくために、KAMトーラスの位相空間内に占める割合が十分小さくなっていかなくてはならない。

　これらのことは申請者の研究によってはじめて、次の様に定量的な形として示された。

　KAMトーラスが位相空間内に占める体積は、システムサイズの増加とともに急速に減少する。

　これとともに、拡散係数は増大する。また拡散係数は、大局的結合を取った場合には結合係数の強さにべき的に依存する。さらに拡散係数は、システムサイズを大きくしていくと、サイズによらない一定の値に収斂することも明らかとなった。

　これらの結果は数値的に示されたものであり、申請者によって初めて得られた知見である。また、拡散係数のシステムサイズに対するべき的依存性は、後にチリコフらによって解析的にその正しさが証明されている。

　今までのハミルトン系の研究では、位相空間の中のカオスではない領域に見い出される秩序構造に興味が集中していた。しかし、申請者の仕事によってはじめて、カオス領域の中にも秩序構造があることが報告された。

　申請者によれば、多自由度のハミルトン系には、カオスでありながら各粒子がそろって運動しているクラスター状態と、乱れた運動をしているいわゆるカオス状態が混在する。実際、申請者は、適当な切断面を設定することにより、クラスター状態に速やかに落ち込む初期値の分布を視覚化して見せた。この結果、そのような初期状態の分布は、規則的な運動が存在する位相空間の階層構造近傍に集中していることが見事に描き出された。得られた玉葱の断面のような構造は、ハミルトン・カオスの新しい階層的秩序構造を如実に示すものである。

　申請者は更に、このクラスターとそうでない状態が、リアプノフ指数の分布とリアプノフ・ベクトルによる解析によって定量的に区別できること、クラスター状態の局所的リアプノフ指数が、クラスターをつくっていない状態にくらべ大きい分散を持つこと、クラスターの集団運動に対応した小さいリアプノフ指数が見いだされること、なども示した。

　特記すべき点は、クラスターとそうでない状態は時間的に入れ替わることが明らかにされた点である。したがってクラスター状態は、ひとつのカオティックな軌道上に自発的に現れては消え、現れては消える秩序状態である。この入れ替わりをしめす遷移状態は、高いKSエントロピーによって特徴づけられることも示された。

　申請者の開発した方法により、分類学的段階であるとはいえ、いわば、多自由度のカオスのより詳細な解析を可能にする手がかりが得られたと言って良いだろう。

　このように申請者の得た知見は、多自由度のハミルトン力学系のカオスに対する数値的解析であり、計算機による物理実験とよぶべきものである。この研究によってハミルトン・カオスの示す、例えば拡散係数と非線形性や結合定数との新しい関係を予見するだけでなく、カオスによってつくられるクラスター構造という秩序の発見ももたらされた。特に、クラスター状態の分析に対して、いままでのリアプノフ解析を拡張したリアプノフ・ベクトルによる特徴づけは、申請者により開発された新しい手法として充分評価に値するものである。

　以上により、審査員一同、本論文が学位論文として、合格、であると判定した。