本論文では,Bessel関数の零点を標本点にもつ補間公式および数値積分公式を構成し,公式の性質(誤差など)を理論・数値実験の両面から調べた.またその応用として,Hankel変換型積分の数値積分公式を構成し,その性質を理論・数値実験の両面から検証した.

　研究の動機,すなわち,Bessel関数の零点を標本点にもつ補間法および数値積分法の研究をはじめるに至った動機は次のとおりである.

　数値積分公式の中で非常に有効なものの一つとして,高橋・森の二重指数関数型積分公式(double exponential formula,DE公式)が知られている.しかし,従来この公式はFourier変換型積分,Hankel変換型積分(nは非負整数,J_nは位数nのBessel関数)といった無限区間上での振動積分に対しては,十分よい近似値を与えることが出来ないと考えられていた.

　ところが,Fourier変換型積分に対しては,1991年画期的な数値積分法が大浦・森により考案された.この公式は従来のDE公式と同様,もとの積分に変数変換を施して全無限区間(-∞,∞)上の積分に変換してから台形公式を適用しているのであるが,変数変換のとり方が独創的である.すなわち,大浦・森の公式では,標本点が遠方でsinxの零点に二重指数関数的に接近するような変数変換をとり,これによって台形公式の無限和を少ない項数で打ち切っているのである.この工夫により,従来計算が困難であったFourier変換型積分が高精度で計算出来るようになった.

　一方Hankel変換型積分に対しては,Bessel関数J_n(x)の零点の分布がsinxの場合と異なるため,大浦・森のDE公式をそのままこの積分に適用することはできない.しかし,大浦・森と同様の変数変換を用い,数値積分の基礎公式として,台形公式の代わりにBessel関数の零点を標本点とする数値積分公式,より正確には,標本点が

　(0<j_n1<j_n2<…<j_nk<…はJ_n(x)の零点,hは正のパラメータ)で与えられる数値積分公式を用いれば,Hankel変換型積分の計算が可能になると期待される.かくして,Bessel関数の零点(正確には±hj_nk/(k＝1,2,…))を標本点とする数値積分公式を構築することが求められるわけである.

　本論文では,Bessel関数の零点を標本点に持つ数値積分公式として,最も基本的な補間型数値積分公式タイプのものを考えた.すなわち,点列±hj_nk/(k＝1,2,…)を標本点にもつ補間公式を項別積分することにより得られる数値積分公式について考察した.

　以下,論文の章立てに従って内容を要約する.

　ここではより一般に,hを正のパラメータ,vを非負実数として,

　(0<j_v1<j_v2<…<j_vk<…は位数vのBessel関数J_v(x)の零点)を標本点にもつ補間公式を考える.

　補間公式の具体形は次のようになる:

　この公式は,従来のLagrange補間公式の自然な拡張として得られることから,本論文ではLagrange-Bessel補間公式と呼ぶことにする.

　理論誤差解析により,この補間公式の誤差は単位長さ当たりの標本点数密度1/hに対しO[exp(-c/h)]のオーダーで指数関数的減衰することが示される.

　ここでは,Lagrange-Bessel補間公式でvが非負整数n＝0,1,2,…の場合の公式から得られる数値積分公式について考える.

　はじめに,対称積分

　に対し,補間公式でv＝n＝0,1,2,…とおいた式を項別積分して数値積分公式を導出する.この公式を本論文では対称積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式と呼ぶ.この公式は従来の台形公式に比べて精度が劣ることが理論誤差解析と数値実験から分かる.したがって,対称積分に対してはBessel関数の零点を標本点に用いるメリットはない.

　むしろ,反対称積分

　に対してLagrange-Bessel補間公式から数値積分公式をつくる.この公式を反対称積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式と呼ぶ.Bessel関数の位数n＝0の場合の数値積分公式の具体形はつぎのようになる:

　理論誤差解析,数値実験から,反対称積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式は,対称積分に対する台形公式と同程度の精度を達成することが明らかとなる.

　Bessel関数の位数vが整数でない正の実数の場合,べき的特異性をもつ全無限区間積分

　に対して±hj_vk/(k＝1,2,…)を標本点にもつ数値積分公式をつくると,精度のよい公式が得られる(この公式もLagrange-Bessel数値積分公式と呼ぶ).

　理論誤差解析,数値実験から,べき的特異性をもつ積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式は,対称積分に対する台形公式と同程度の精度を達成することが分かる.

　反対称積分およびべき的特異性をもつ積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式に関して公式が厳密な積分値を与える被積分関数のクラスを明らかにしている.

　f(x)が奇関数であるとき,f(x)の反無限区間[0,∞)上における積分は,

　と反対称積分を用いて表わされる.したがって,奇関数の半無限区間積分は反対称積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式を用いて計算することが出来る.また,f(x)の減衰が遅い場合は,DE変換を施して被積分関数の減衰を速くし,少ない標本点数で積分の近似値を計算することが出来る.数値実験から,Lagrange-Bessel数値積分公式を適用したほうが,従来のDE公式よりも効率よく計算出来ることが判明する.

　また,数値積分公式の誤差を理論的に評価するため,反対称積分に対するLagrange-Bessel数値積分公式で無限和を有限和に打ち切った公式の誤差評価を,被積分関数が一重または二重指数関数的減衰するという条件下で行った.その結果,とくに被積分関数が二重指数関数的減衰する場合(奇関数の積分でDE変換を施して行った計算が,この場合に相当する),実際に用いた標本点数Nに対し数値積分誤差はO[exp(-cN/logN)]のオーダーになることが分かった.また,同じ条件の下で,有限個標本点のLagrange-Bessel数値積分公式が反対称積分に対し(準)最適な公式であることも明らかになった.

　最後に,Hankel変換型積分,すなわち,Bessel関数を含む振動積分に対し,大浦・森の方法と本論文の数値積分公式を組み合わせた数値計算法を試みた.

　計算しようとする積分

　に対し,変数変換

　を施すと,変換後の積分は反対称積分で表わされることが分かるから,それにLagrange-Bessel数値成分公式を適用する.n＝0の場合の公式の具体形は次のようになる:

　標本点(/h)H((h/)j_nk)は無限遠k→∞でJ_n(x)の零点j_nkに二重指数関数的に接近するから,少ない標本点数で無限和を打ち切ることが出来る.

　いくつかの具体例に対し数値実験を行い,併せて理論誤差解析を行ったところ,被積分関数f(x)が整関数である場合は,上の数値積分公式は十分よい精度の近似値を与えることが分かった.一方f(x)が複素平面上正の実軸近傍に特異点をもつ場合,十分な精度を得ることが出来ないことも判明した.後者の場合は,積分区間を分割してもとの積分を2つに分けることにより,特異点を積分区間から遠ざければ精度が向上すると考えられ,数値実験の結果,この工夫により十分な精度を得られることが分かった.