Kを代数体、GKをKの絶対ガロア群、pを素数、EをK上の楕円曲線とする。E、のp-進Tate加群TpEへのGKの作用が定める表現

ρE/K,P:Gκ→Aut(TpE)〓GL2(Zp)

を考える。もしEが虚数乗法をもたなければ、ρE/K,pの像はすべての素数pに対して開であり、有限個の素数pを除いて、ρE/K,p mod p及びρE/K,pが全射であるという、Serreにより証明された定理([Se])がある。そこで、代数体Kと素数pを固定し、K上の楕円曲線Eを動かしたときに、ρE/K,pの像はどう振る舞うかを考える。例えば、Kが有理数体Qの場合を考える。p>163ととれば、ρE/Q,p mod pの像がBorel部分群に入るような楕円曲線E/Qは存在しないことをMazurが示している([Ma3])。また、Momoseの研究([Mo])によれば、ρE/Q,p mod pの像がsplit Cartan部分群の正規化群に入るような楕円曲線E/Qは虚数乗法をもつだろう、と考えられる。そして私は、固定された代数体K上の虚数乗法をもたない楕円曲線Eが定める表現ρE/K,pの像は、楕円曲線Eを動かしても下に有界であることを証明した。すなわち、代数体Kと素数pに依存した自然数nが存在して、K上の虚数乗法をもたない任意の楕円曲線に対して、ρE/K,pの像は1+pnM2(Zp)を含むことを証明した。より詳しく、このnのKとpによる具体的な評価を、有限個のj-不変量をもつ楕円曲線を除き決定した。本論文の主定理を述べる。

定理1　pを素数とする。整数n(p)を次のように定義する。

n(p)=

0 ifp〓 23,

1 ifp= 19,17,13,11,

2 ifp=7,

3 ifp=5,

5 ifp=3,

11 ifp=2.

　Kを代数体とする。このときpに依存したKの有限部分集合Σが定まり、K上の楕円曲線Eでj(E)〓Σとなるものに対して、ρE/K,pの像は(1+pn(p)M2(Zp))det=1を含む。ここで1+poM2(Zp):=GL2(Zp)とおいている。

　さらに、GKのp-進円分指標の像が1+prZp(r〓0)を含むとすれば、K上の楕円曲線Eでj(E)〓Σとなるものに対して、ρE/K,pの像は1+pr+n(p)M2(Zp)を含む。ただし、p=2のときはr〓2ととっている。ここで1+p0Zp:=〓とおいている。

　定理1は、pが23以上であれば、

p〓±3mod8のときK〓((Q(ζp)の2次部分体)，

P≡±3mod8のとき体の埋め込みK→Qpが存在する

とすれば、[Fa]、[Ma2]により得られる。またpが17，19でKが有理数体のときには、[Fa]、[Ma1]、[Ma2]により得られる。

　本論文は6つの節より成る。第1節、第2節で上記の定理1を紹介する。第3節では楕円曲線をmodular curveの有理点と結び付ける。まずKを有限次拡大して、1の原始pn(P)+1乗根を含むとする。楕円曲線ρE/KについてρE/K,pの像が(1+pn(P)M2(Zp))det=1を含まなかったとする。このとき、SL2(Z/pn(p)+1Z)の部分群Hで(1+pn(p)M2(Z/pn(P)+1Z))det=1を含まないものに対して、ρE/K,p(GK)modpn(P)+1はHに含まれる。よって、E/KはHに対応するmodular curve XHの有理点を定める。もしXHの種数g(XH)が2以上であればFaltingsにより証明されたMorden予想([Fa])によって、XHの有理点は有限個しかないことになる。このような部分群Hは有限個しかないので、ρE/,K,Pの像が(1+Pn(p)M2(Zp))det=1を含まないような楕円曲線E/Kのj-不変量は有限しかないとわかり、定理1が従う。

　第4節以降では、g(XH)が2以上であることを証明する。まず第4節で、XHの種数の評価のための準備をする。G=SL2(Z/pn(p)+1Z),σ=〓,τ=〓,u=〓とおき、またα=σ,τ,uに対してConj(α)でαの共役元全体のなす集合を表す。Riemann-Hurwitzの公式により、Hが-1を含めば

と表される。そこで、SL2(Z/pZ)やその極大部分群に含まれるσ,τ,uの共役元の数を計算する。第5節では、Hの中のσ,τ,uの共役元の数の評価を行う。自然数1〓m<nに対して、fn,m:SL2(Z/pnZ)→L2(Z/PmZ)を法pm還元とする。もしn〓2mであれば、α=σ,τ,uに対してα-1(〓(α)∩Conj(α))は階数2の自由Z/pn-mZ加群になる。このこととHが(1+pn(p)M2(Z/pn+1Z))det=1を含まないことを組み合わせて、Hの中のσ,γ,uの共役元の数を上からおさえる。第6節では、第4節、第5節の結果を用いてg(XH)が2以上であることを証明する。

　最後になるが、指導教官の斎藤毅教授には、論文の構成の手直しや命題の改善等のご指導、及び執筆に際しての激励をいただき、心より感謝する。

　Kを有限次代数体として，EをK上の楕円曲線とする．素数pに対し，EのTate加群TρE=limnE[pn]は，Kの絶対Galois群GK=Gal(K/K)の表現ρE,p:GK→GL(TpE)〓GL2(Zp)を定める．Serreは，Eが虚数乗法をもたなければ，Galois表現ρE,Pの像はBL2(Zp)の開部分群であることを示した．Galois表現TpEは，整数論の重要な対象として，多くの研究がなされてきた．本論文では，Kとpを固定したとき，Galois表現の像がEによらずに一様に大きいということを示し，次の結果を得た．

定理1　Kを代数体とし，pを素数とする。このとき，K,pのみに依存する定数n=n(K,p)〓1で，K上定義された任意の楕円曲線Eに対し，Eが虚数乗法をもたなければ，Galois表現ρE,p:GK→GL2(Zp)の像が1+pnM2(Zp)⊂GL2(Zp)を含むようなものが存在する．

実際には，定理1より精密な次の結果が得られている．素数pに対し，自然数n(p)を，p〓23ならn(p)=0,p〓19,17,13,11ならn(p)=1，p=7ならn(p)2，p=5ならn(P)=3，P=3ならn(P)=5，P=2ならn(P)=11で定める．記号1+p0M2(Zp)はGL2(Zp)を表わすものとする。

定理2　pを素数とし，KをQ(ζpn(p))を含む代数体とする．このとき，k,pのみで定まるKの有限部分集合Σ=ΣK,Pで，K上定義された任意の楕円曲線Eに対し，Eのj不変量j(E)がΣの元でなければ，Galois表現ρE,pの像が(1+pn(p)M2(Zp))∩SL2(Zp)を含むようなものが存在する．

　定理1は，定理2より容易にしたがう．定理2の証明の方針は次のとおりである．楕円曲線の同型類はモジュラー曲線の有理点を定めること，および，代数曲線の有理点の有限性に対するMordell予想が証明されていることにより，次の命題に帰着される．

命題3　HをSL2(Z/pn(p)+1Z)の部分郡で，H∩1+pn(p)M2(A)〓SL2(Z/pn(p)+1Z)∩1+pn(p)M2(Z)をみたすものとする．このとき，モジュラー曲線XH=H〓X(pn(p)+1)の種数gHは2以上である．

命題3の証明には，まず，種数公式によりghをHに含まれるある種の共役類の元の個数として表わす．この共役類の個数の評価により，命題3が証明される．

　Galois表現ρE,pの像を，このように，楕円曲線の同型類をモジュラー曲線の有理点と考えて研究することは，これまでにいろいろな角度からなされてきた．しかし，本論文のような，モジュラー曲線の種数の評価から有限性を導く定性的な議論は，研究されて来なかったようである．p〓7ならば，定理2のn(p)は最良の評価を与えるが，p〓5については改良されるべきものと考えられる．また，p〓19のときは，定理2から派生する問題が種々あり，今後の研究の課題である．

　以上のように，本論文では，代数体上の楕円曲線にともなうGalois表現の像の下限について，新しい着想から興味深い結果を導いている．よって論文提出者新井啓介は博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める．