We studied the AdS/CFT correspondence of orbifold models. The original model before orbifolding is the correspondence between N = 4 U（N） SYM and type IIB superstring on AdS5×S5. Recently, there are big progress in the study of this correspondence. Firstly, it was found that the planar N = 4 SYM can be regarded as a spin chain system. Concretely, the anomalous dimension matrix of the field theory is mapped to the Hamiltonian of the spin system. This spin system is shown to be integrable by the Bethe ansatz. So, spectrum of the planar N = 4 SYM is obtained by solving the Bethe equations. In long chain limit, the Bethe equations can be explicitly solved. This means that some spectrum of states with large charge in the field theory is obtained. On the other hand, superstring on AdS5×S5 can be treated appropriately at semiclassical level if some charges which the superstring has are very large. Such string configurations have been found and their spectrum has been compared with the spectrum of the field theory. This comparison has shown a beautiful agreement between both sides, at least at one-loop level of the field theory. Furthermore, this agreement could be generalized to action （equations of motion） level. In this process, the integrabilities of both theories, the superstring on AdS5×S5 as well as N = 4 SYM, have been revealed and have played a important role in the exciting agreement. This quantitative agreement strongly suggests the validity of the AdS/CFT correspondence of the N = 4 model.

We have studied whether the above integrabilities and quantitative correspondence can be seen in other models. We investigated orbifold model. This model has less supersymmetry than N = 4. In this sense, this model is more realistic and is very interesting to study. In the orbifold model, the correspondence is between the four-dimensional quiver gauge theory and type IIB superstring on AdS5×S5/Г background, where Г is an orbifold group. This group is a discrete subgroup of global symmetry SO（6） of N = 4 SYM. First, we show the integrability of the quiver gauge theory. For this theory, there exist new classes of states （operators） other than the sector of states inherited from the original theory. We call the former classes twisted sectors and the latter an untwisted sector. The spin chain system corresponding to the untwisted sector is the same as that of N = 4 SYM and integrable by the Bethe ansatz. This spin chain has a periodic boundary condition. On the other hand, the spin chain system corresponding to the twisted sector does not have the periodic b.c. but twisted b.c.. Even with the twisted b.c., this system is integrable by the Bethe ansatz method. We show this fact by both the coordinate Bethe ansatz and the algebraic Bethe ansatz. The algebraic one gives more precise explanation of the integrability than the other. Then, we solve the Bethe equations in some cases and obtain some spectrum. For the superstring theory on AdS5×S5/Г, we find some classical solutions of the string configuration. In the large charge region, the semiclassical treatment is validated and the classical solutions are appropriate objects. Then, the spectrum of this solutions are compared to the the spectrum of the quiver gauge theory and we can see an agreement between them. This observation is done at the one-loop level of the field theory. Finally, we generalize this agreement to the action level.

Our work clarified the validity of the AdS/CFT duality of the less supersymmetric model. In this process, the integrabilities both of the quiver gauge theory and the string theory on AdS5×S5/Г is shown in some sectors. This encourages further studies of these theories.

超弦理論が切り開いた新しい可能性として,重力理論とゲージ理論との双対関係がある.これら2つの理論は,純粋に場の理論の立場からは全く異なった原理に基づいている.しかし,弦理論では,重力とゲージ相互作用が融合し一つの閉じた理論体系に両者が包含されていることからの帰結として,理論空間のある領域では同じ物理的内容を,重力理論またはゲージ理論のどちらの立場からも記述できる場合がある.

その最も典型的なものが,AdS5/CFT4対応として知られているものである.この場合,重力理論側は,負の定曲率をもった5次元反ドジッター空間（anti-de Sitter spacetime）と正の定曲率を持つ5次元球面空間の直積AdS5×S5を背景時空とする超弦理論,ないしはその低エネルギー極限としての超重力場理論である.一方,ゲージ理論側は,4次元時空のゲージ理論として最大可能な超対称性（N＝4 supersymmetry）を持つ超対称Yang-Mills理論である.前者の背景時空は,座標変換に関してSO（4,2）× SO（6）群のもとでの等長不変性を有するのに対応して,後者は量子論として同じ群で特徴づけられる共形不変性と6個のスカラー場の回転に対応するSO（6）対称性（R対称性）を有し,対称性の観点からは整合的な関係である.このとき,ゲージ理論の4次元時空は,5次元AdS空間の無限遠境界としての4次元とみなされる.ただし,この対応は弦理論から導出できているわけではなく,極めて確からしい予想として,ここ7-8年の弦理論の研究の流れを作り出す源になっている.この対応のより深い理解を得ることは,弦理論の原理の探求,場の理論への応用など,様々な弦理論の課題を追求するうえで重要な課題である.しかしながら,こうした対応を直接確かめるのは,双方の理論を調べるために使用できる近似の有効領域が一般には異なるため,対称性のしばりによってその性質を調べられるいわゆるBPSセクター以外では一般に大変困難である.ところが,ここ数年の研究の進展により,ゲージ理論側で異常次元が十分おおきい演算子,状態を考えたときには,弦理論では半古典近似が有効になるとの認識がなされ,BPSセクター以外でも対応関係を調べられる例がいくつか明らかになって来ている.

本論文は,このような観点から,これまでよく調べられているAdS5×S5背景時空の球面部分S5を,離散群Γの作用で割って得られるorbifold空間S5/Γによって置き換えて,ゲージ理論と弦理論との対応関係を調べている.この置き換えにより,理論の対称性の一部が壊れるため,より低い対称性を持つ背景時空の重力理論および対応するゲージ理論で,どこまで非BPSセクターでのAdS/CFT対応が成立するか,という問題について具体例を与える意義がある.

次に本論文の概要を述べる.論文は全体で10章から成っている.序章で,本論文で追求する課題の動機と位置づけを与えた後,第2章から6章までは論文後半の議論への準備として,いくつかの既知の結果に関するレビューを与えている.まず,AdS/CFT対応（2章）,N＝44超対称Yang-Mills理論における異常次元（3章）,特に,異常次元の1ループ近似におけるスピン系との対応,ベーテ仮説の方法にもとづいたスペクトルの導出,積分可能性,およびいわゆるBMN極限などがまとめられている.第4章で,弦理論側の半古典近似による弦のエネルギースペクトルの取扱いを論じ,それを受けて第5章では,ゲージ理論の1ループ近似による連続極限有効作用の導出と,弦理論との比較を行っている.続いて第6章では,弦理論側でS5空間をorbifoldに置き換える手続きと,Γ＝ZMとしたときのゲージ理論側の対応物であると予想されるquiverゲージ理論についての説明がなされている.

以上の準備のもとで,第7章より主眼とする問題にとりかかる.7章では,ゲージ理論側での異常次元を1ループ近似で調べる.これまで調べられている通常のN＝44理論との違いは,離散群ZMで割られていることに対応して考察すべき演算子に,理論にもともと存在しているスカラー場の他に離散群要素γ作用を表す不純物を含むいわゆるtwistedセクターに属するものがあることである.本論文で扱っている理論の枠内では,不純物を含まないuntwistedセクターに関しては,1-ループ補正における異常次元の結果は通常のN＝4理論と一致するが,twistedセクターに関しては,結果は異なり,離散群のオーダ-Mに依存する異常次元が得られる.ベーテ仮説の方法を適用してこれらの結果を導き,さらにこの場合についての積分可能性を,通常の場合に知られているYang-Baxter関係式の議論を拡張することにより論じている.第8章では,弦理論側でorbifoldのもとでの弦の伝搬の半古典近似による取り扱いを行い,AdS×S5/ZM時空の中心でS5/ZM方向に回転する弦の運動から得られるスペクトルを求めて,第7章で導いた異常次元と比較し,それらが一致する結果を与えていることを論じている.また,第9章では,orbifold模型での弦の有効作用を,ゲージ理論側から導出する可能性を調べ,弦理論の古典作用との整合性を示している.最終章では,これらの結果の要約がなされたうえ,問題点と今後の課題を論じている.

本論文は最近の弦理論の発展において極めて重要な意味を持つAdS/CFT対応に関して,最も典型的なAdS5×S5の場合からorbifold空間へ移って,超対称性やR対称性に関してより低い対称性によって特徴づけられる状況で,重力理論とゲージ理論の対応を考察した.そして,前者の古典近似と後者の1ループにおいては,エネルギースペクトルと異常次元の間に予想される対応が成り立っていること,および後者についてスピン系として積分可能性も対称性の低下のもとでも依然として成立していることを示した.この問題に関係して,まだ解明されるべき点もいくつかあるが,orbifold空間でのこれらの対応関係を確かめたことは,今後の研究に役立つ有用な新知見であり,本論文は博士論文として十分な内容を備えている。

よって、審査委員会は全員一致で本論文が博士（理学）の学位を授与するのにふさわしいものであると判定した。