A theoretical framework to give a simple mechanism of the generation of cosmic structures is known as the inflationary theory. In this framework, the accelerated phase of the cosmic expansion took place and the spacetime inhomogeneity was generated quantum-mechanically in the course of the accelerated expansion, called the inflation. The quantum-generated fluctuations may transit to classical fluctuations, namely, the fluctuations of the spacetime curvature and the inflationary gravitational wave background (IGWB). The curvature fluctuations evolves and transferred to the density perturbations of baryons and photons filling the early universe. When the size of the universe becomes large enough to decouple the interactions (called decoupling), the photons started to travel freely through the universe, whose surface viewed from us is called Last Scattering Surface. We observe the photons as the Cosmic Microwave Background (CMB).

　Evolution of such tiny fluctuations is treated theoretically by cosmological perturbations, in which we consider the spacetime fluctuation coupled with matter in the homogeneous and isotropic cosmology.

　Observing primordial fluctuations generated during inflationary epoch may allow us to ask a fundamental question: "Why is our universe described as a four-dimensional spacetime ?" or "Is there a possibility that we live in a higher-dimensional spacetime ?". This kind of questions emerges from the unified theory such as string theories. There is so far no experimental and observational evidence that our universe is such a higher-dimensional spacetime. With growing observational technologies, the day may be not far off that future observations stand our vision of the universe on its head. Hence it is very important and urgent to study the cosmological perturbations in the framework of higher-dimensional cosmology.

　What makes the theoretical investigation possible is the appearance of the Randall-Sundrum (RS) single brane model (RSII model). In this model, we live on a brane, which is a three-dimensional hypersurface embedded in a five-dimensional anti-de Sitter bulk spacetime. In this thesis, we study the evolution of inflaton perturbations (scalar perturbations) and IGWB (tensor perturbations) in a cosmological setup based on the RSII model. In this setup, the brane is moving in the five-dimensional spacetime, and two high-energy effects play an important role in the evolutions of these perturbations in the high-energy regime of the universe. One of the effects comes from the high-energy correction to the Friedmann equation, leading to a peculiar cosmic expansion at the early stage of the universe; the other is due to the existence of the extra-dimensional (bulk) metric perturbations, which can be interpreted as the energy loss of the perturbations on the brane.

　As for the IGWB, we focus on its evolution after the inflation and estimate an observed spectrum of the IGWB. We assume that our universe after the inflation is filled by a perfect fluid whose equation-of-state is described by p = wρ. Using the spectral collocation method, we perform the numerical simulations in the cases with w = 0, 1/3, 1 which corresponds to the matter-dominated, the radiation-dominated, and the stiff-matter-dominated universe, respectively. At the initial time of each simulation, we set the IGWB whose wave-length is sufficiently larger than the Hubble horizon. The effect of bulk metric perturbations appears at the horizon crossing (re-entry). Then we find following things :

・ The two effects cancel each other, resulting that the spectrum of IGWB becomes almost same one as predicted in the standard four-dimensional theory [see Fig. 1].

・ This cancellation occurs only in the radiation dominated case (w = 1/3). In cases with ω = 0, 1, the spectra becomes different from the four-dimensional ones.

・ There is a relation between the Lorentz factor of the moving brane and the excitation of the Kaluza-Klein modes which are gravitational waves escaping from the brane into the bulk. This relation is insensitive to the parameter w. Using this universal relation, the spectrum of IGWB in the RSII model becomes

where fcrit 〓 5.6 × 10(-5) Hz if the curvature scale of the anti-de Sitter spacetime is 0.1 mm, and ρc = 3H02/8πG = 9.8 × 10(-30) g/cm3 means the critical density of the universe and ρGW the energy density of the IGWB.

In the basis of the universal relation, we discuss the effect of the Lorentz factor of the moving brane using a simple toy model.

　As for the inflaton perturbation, we investigate its evolution during the inflation with a specific brane inflation model proposed by R. M. Hawkins and J. E. Lidsey. The inflaton perturbation and the bulk metric perturbations are expressed by the Mukhanov-Sasaki variable, Q(t), and the master variable, Ω(t, y), respectively, where y denotes the bulk coordinate. These quantities are coupled with each other via the junction conditon imposed on the brane. In order to quantify the effect of the bulk metric perturbations, Ω(t, y), we adopt a simplified initial condition, in which no bulk metric perturbation is present at the initial time. By means of the spectral collocation method, we solve numerically the coupled equations of the metric perturbations and the inflaton perturbations. As a result, we found following things :

・ The comoving curvature perturbation Rc ≡-HQ/φ becomes constant on the super-horizon scales (at late time), as shown in Fig. 2, which is the same feature as one observed in the standard four-dimensional theory.

・ Comparing with the curvature perturbations without considering the bulk metric perturbations, the amplitude of Rc in the present case is suppressed on the sub-horizon scales, as shown in Fig. 3.

The latter result leads to the impossibility of neglecting a coupling to the bulk gravity on small scales. Therefore, unlike the four-dimensional case, one cannot naively treat the initial inflaton field as a free massless field. This fact means that the observed spectra of the curvature perturbations or density perturbations become sensitive to the bulk metric perturbations at the initial time.

図1: The energy spectrum of the IGWB around the critical frequency. The filled circles represent the spectrum caused by the non-standard cosmological expansion of the universe. Taking account of the KK-mode excitations, the spectrum becomes the one plotted as filled squares. Particularly, in the asymptotic region depicted in the solid line, the frequency dependence becomes almost same as the one predicted in the four-dimensional theory (long-dashed line).

図2: The evolution of curvature perturbations Rc in the inflationary epoch.

図3: The curvature perturbations (multiplied by the scale factor) in the inflationary epoch for a long-wavelength mode (left) and for a short-wavelength mode (right). The solid lines represent numerical results and the dashed lines show the 4D predictions obtained by neglecting the coupling to the bulk metric perturbations.

　近年、素粒子の統一理論の候補として超弦理論が活発に研究されているが、この理論は時空が10次元であることを予言する。高次元時空の中でわれわれの住む4次元世界がどのように実現しているかを明らかにするのは重要な問題である。従来は、余剰次元がきわめて小さいため、その影響はわれわれの住む4次元世界には現れないのだ、という考え方がとられていた。しかし、近年ランドールとサンドラムは、たとえ余剰次元の差し渡しが無限の座標距離を持っていても、十分曲がっていれば実験・観測事実に矛盾することはない、という新しい考え方を提唱した。彼らのモデルに依れば、われわれの暮らす4次元宇宙は5次元空間の中に埋め込まれた膜状の存在であるということになる。このような考え方はブレーンワールドシナリオと呼ばれ、近年きわめて活発に研究されている。

　このシナリオによると、標準模型をはじめとする通常の物質とそれらを結ぶ3つの相互作用はプレーン上にのみ存在する一方、重力は5次元時空に普遍的に伝播することになっている。したがって、重力波や曲率揺らぎ等の幾何学的な自由度がブレーンワールドシナリオにおいてどのように進化するか、ということは、自明でない、重要な問題である。

　とくに、ブレーンワールドシナリオにおいて宇宙論を考える場合、観測されている4次元宇宙の大域的一様・等方・平坦性とともに密度揺らぎの起源を説明する機構として不可欠な、初期宇宙のインフレーションがどのように起こり、またどのような観測的帰結をもたらすかを調べることが本質的に重要である。

　本論文はこのような観点から、ブレーンワールドシナリオにおけるインフレーション宇宙論のもとで発生する時空曲率のテンソル揺らぎとスカラー揺らぎの発展を、数値計算によって解析した論文提出者の研究の総合報告である。

　本論文は7章と付録4項からなり、各章の構成は以下の通りである。

　第1章はイントロダクションであり、上述のような本研究の背景が論じられている。第2章は通常の4次元時空におけるインフレーション宇宙論の動機付けと揺らぎの生成・発展機構に関するレビューに当てられている。第3章は、本論文が依拠するブレーンワールドシナリオの原論文である、ランドールとサンドラムの研究、ならびにそれに基づいたインフレーション宇宙論の研究として、ホーキンス・リジーのモデルが紹介されている。

　第4章ではブレーンワールドシナリオにおける宇宙論適摂動論が詳説され、以下に続く著者自身の数値解析研究の準備となっている。

　第5章はブレーンワールドシナリオにおけるテンソル揺らぎの発展を数値計算によって解析したものである。ブレーンワールドシナリオにおいては、宇宙のスケールファクターの進化を記述するフリードマン方程式に、エネルギー密度に比例した項だけでなく、その自乗に比例した項が現れる。また生成したテンソル揺らぎは重力の自由度を表すため、ブレーン上のみならず5次元時空に伝播していくため、4次元ブレーンから見るとエネルギーが抜けるように見える。以上2つの特徴は最終的なテンソル揺らぎのスペクトルの大きさに対しては、互いに逆方向の働きをするため、最終結果がどうなるか、正しく知られておらず、論争が続いていた。この問題を解決するためには多変数の偏微分方程式を正確に解く必要があるため、著者はそのための数値計算コードを完成し、さまざまな場合について解析を行った。その結果、最も興味の持たれる放射優勢宇宙の場合は上記の2つの特徴の寄与がほぼ打ち消しあい、通常の4次元宇宙の場合とほぼ同じ結果が得られることを示した。一方、状態方程式が放射と異なる場合は宇宙膨張則の変化に伴って非自明な特徴が現れることを示した。これらの結果はブレーンワールドシナリオの特徴を如実に示すものとして、重要な意義をもっているものである。本章の内容は著者の単著論文として、既にフィジカルレビュー誌に掲載されている。

　第6章はこのシナリオにおけるスカラー揺らぎの進化を数値解析したものである。テンソル揺らぎの場合は純粋に重力の効果だけで決まるので解析は直截であったが、スカラー揺らぎはインフレーションを起こすスカラー場の自由度と曲率の自由度が結合しているため、直截な形で解くことはできない。著者はこの点を工夫して、ある種のパラメタを導入することによって解き、スカラー揺らぎの進化を数値的に与えることに成功した。本研究は小山和哉氏との共同研究として刊行されているが、定式化、数値解析ともに論文提出者が中心となって行ったものであり、本委員会は同人の貢献を大と認めた。

　さらに、本学博士に相応しい学識を持っているかを口頭にて試問したが、その結果審査員全員一致にて合格と認定した。

　したがって、博士(理学)の学位を授与できると認める。