一般に保型形式の,あるいは特にLanglands 型のEisenstein 級数の,Fourier 展開を考える時に,実リー群上の大域的なWhittaker 関数は重要な役割を果たす.p 進体上の不分岐主系列表現のWhittaker 関数の明示公式はCasselman-Shalika によって与えられている.一方で実数体上のWhittaker 関数については,存在と一意性は分裂する群に対してはShalika によって示されている.Whittaker 関数の明示的な公式はGL(n;R) 以外は階数の低い群に対していくつかの結果がある.ここでは実2 次シンプレクティック群上のWhittaker 関数について考える.

これまで,実二次シンプレクティック群G = Sp(2;R) の極小K-type を持つWhittaker関数の明示公式は極小放物形部分群に付随する主系列表現(Pmin-series) のときは石井卓によって,Jacobi 極大放物型部分群から誘導された一般型主系列表現(PJseries)は宮崎琢也・織田孝幸によって,離散系列表現は織田によって得られている.すなわち標準表現の中では唯一Siegel 極大放物型部分群PS から誘導された一般主系列表現(PS-series) のWhittaker 関数の明示公式だけ得られていない.そこで本稿ではPS-series のWhittaker 関数の明示公式を得ることを目的とする.

第一節では主定理の一つであるPmin-series に属する第二種のWhittaker 関数で任意の1 次元K-type に属するものの明示公式を得た.これは石井によって得られている極小K-type における明示公式を用い,それにシフト作用素を施すことによって得られる.より詳しく言えば,元々,Pmin-series Whittaker 関数の動径成分の満たすholonomic 系はは宮崎・織田によって与えられている.すなわち普遍包絡環U(g) の中心Z(g) (g = Lie G) を生成する二次と四次の作用素をWhittaker 関数に作用させることで,二つの微分方程式が与えられている.しかしこれを直接解くことは困難である.そこで我々の場合,1 次元K-type(特に最高重さ(0,0))における石井の明示公式を用いて,それにK-type の間のClebsh-Gordan 分解のinjector やprojectorを合わせることで(つまりDirac-Schmid 作用素の合成で)微分方程式系を満たす解を求めた.

群G の分裂カルタン部分群の連結成分を(〓)とするとき,Pmin-series Whittaker 関数はy1 = a1=a2 = 0, y2 = a22= 0 の周りで確定特異点型である.すなわちy1 = 0, y2 = 0 で正規交叉する二つのdivisor がある.よって,(y1; y2) = (0; 0) の周りでWhittaker 関数はべき級数展開できる:

Theorem. 全ての1 次元K-type τ(l;l) を持つWhittaker 関数を(〓)とする.この時,係数a(l;l)m;n は一般超幾何関数3F2 の1 での値を用いて明示できる.

第二節ではまず,SL_(2;R) の離散系列表現Dk から誘導される一般化主系列表現_ = _(e_SDk1NS ) を定義した.ここで冪単部分群NS がアーベル群となる極大放物型部分群PS に対し,PS = NSMSAS をLanglands 分解とすると,MS = SL_(2;R)であることに注意する.そして,我々がperipheral K-type と呼ぶ,次元が最小の特別なK-type (特にこのK-type は重複度が1である)の周辺の(g;K)-加群の構造を詳しく計算した.G の表現_ のperipheral K-type を(_; V_ ) とすると,そのdominantweight はl = (l + k; l) (l 2 Z) の形である.本稿の二つ目の主結果はPS-series のK-type _(l+k;l)(l 2 Z)を持つベクトル値のWhittaker 関数が満たす3種類の微分方程式系を明示的に求めたことである.微分方程式の一つはCasimir 方程式で,残りの二つはDirac-Schmid 作用素から得られる.得られた偏微分方程式系はWeyl 群の位数と同じ8 次の解空間を持つholonomic 系であると予想している.

この予想を第三節の特別な場合,すなわちk = 2, l = -1 の場合に正当化する.

第三節では,k = 2, l = -1 における偏微分方程式の解の例を与えた.本節ではPS-series はSL±(2,R) の離散系列表現D2 から誘導されている(つまりk = 2).まず表現の埋め込みΠ→πを考える.

πの1 次元K-type に属するWhittaker 関数(石井の結果)をS(p±) (→U(g))の元でΠの中へ移して,Πの中に生じるperipheral K-type を持つWhittaker 関数を得た.今の場合はK-type τ(1,-1) に属するもので,8 次元分一次独立なものが得られた.

以上より,8 つの非緩増加Whittaker 関数の明示公式を得られたが,保型形式においては緩増加Whittaker 関数が重要な役割を果たす.例えばEisenstein cohomologyやHodge 構造といった数論的対象物に応用することはこれが必要となる.石井による極小K-type における緩増加Whittaker 関数と非緩増加Whittaker 関数との関係式(展開定理)を拡張することは今後の課題である.

一般に実リー群上G の保型形式の,あるいは特にLanglands 型のEisen-stein 級数の,Fourier 展開を考える時に,G 上のWhittaker 関数は基本的な役割を果たす.実数体上のWhittaker 関数については,その存在と一意性は、分裂する群に対してはShalika によって示されている.Whittaker関数の明示的な公式はGL(n,R) 以外は、階数の低い群に対していくつかの結果がある.ここでは実2 次シンプレクティック群上のWhittaker 関数について考える.

これまで,実二次シンプレクティック群G = Sp(2,R) の極小K-type を持つWhittaker 関数の明示公式は極小放物形部分群に付随する主系列表現(Pmin-series) のときは石井卓によって,Jacobi 極大放物型部分群から誘導された一般主系列表現(PJ-series) は宮崎琢也・織田孝幸によって,離散系列表現は織田によって得られている.標準表現の中では、唯一Siegel 極大放物型部分群PS から誘導された一般主系列表現(PS-series) のWhittaker 関数の明示公式だけ得られていない.そこで本論文ではPS-series のWhittaker関数の明示公式を得ることを目標にして研究している.

本論文で得られた結果は三つある.

一つ目は、主系列表現Pmin-series に属する第二種のWhittaker 関数で任意の1 次元K-type に属するものの明示公式を得た.

これは石井によって得られている極小K-type における明示公式を用い,それにシフト作用素(Dirac-Schmid 作用素) を適用することによって得られる.

より詳しく言うと、群G の分裂カルタン部分群の連結成分をA ={diag(a1, a2, a1(-1) , a2(-1) | a1, a2 ∈ R>0}とするとき,Pmin-series Whittaker 関数はy1 = a1/a2 = 0, y2 = a22 = 0の近傍で確定特異点型である.すなわちy1 = 0, y2 = 0 は原点で正規交叉する二つのdivisor で、原点(y1, y2) = (0, 0) の周りでWhittaker 関数は収束べき級数展開できる:

Theorem 1 全ての1 次元K-type τ(l;l) を持つWhittaker 関数を(〓)とする.この時,係数a(l;l)m;n は一般超幾何関数3F2 の1 での値を用いて明示できる.

二つ目の結果は、以下の通りである.まず群SL_(2,R) の離散系列表現Dk から誘導される一般化主系列表現_ = _(e_SDk1NS) を定義する.ここでべき単部分群NS がアーベル群となる極大放物型部分群PS に対し,PS = NSMSAS をLanglands 分解とするとき,MS = SL_(2,R) であることに注意する.この_ に対して、著者はperipheral K-type と呼ぶ,次元が最小の特別なK-type(特にこのK-type は重複度が1である)の周辺の(g,K)-加群の構造を詳しく調べた.

G の表現_ のperipheral K-type を(τ, V_ ) とすると,そのdominant weight はl = (l + k, l) (l 2 Z) の形である.本稿の二つ目の主結果はPS-series のK-type τ(l+k;l)(l 2 Z)を持つベクトル値のWhittaker 関数が満たす3種類の微分方程式系を明示的に求めたことである.

微分方程式の一つはCasimir 方程式で,残りの二つはDirac-Schmid 作用素から得られる.得られた偏微分方程式系はWeyl 群の位数と同じ8 次の解空間を持つholonomic 系であると予想している.

三つ目の結果は、この予想を特別な場合,すなわちk = 2, l = -1 の場合に、二つ目の主結果である偏微分方程式の解の例を与え、予想を正当化した.

ここで考えるPS-series はSL±(2,R) の離散系列表現D2 から誘導されている(つまりk = 2).著者は、まず表現の埋め込みII → π を考え、π の1 次元K-type に属するWhittaker 関数(石井の結果)をS(p±)(→ U(g)) の元でII の中へ移して,II の中に生じるperipheral K-type を持つWhittaker 関数を得た.今の場合はK-type τ(1;-1) に属するもので,8 次元分一次独立なものを得ている.

高階のLie 群上のベクトル値のWhittaker 関数の明示公式を得た例は、これまで殆どない.それゆえ、ここに展開された計算過程は新しい成果である.著者は、あまり例のない困難な計算をやり遂げ、今後応用上重要な緩増加Whittaker 関数を調べる第一段階を完了した.特にここで得られた結果から、より一般の場合のありうる結果に大きな示唆を得ることができる.

このような理由から、論文提出者長谷川泰子は、博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める.