In this thesis I will study characteristics of the Dirac spectrum in QCD at high baryon density. I will combine the low energy effective theory of Nambu-Goldstone (NG) bosons and chiral random matrix theory (ChRMT) to investigate how the BCS pairing of quarks and the resulting symmetry breaking show up in the distribution of low-lying Dirac eigenvalues.

I first consider the ε-regime of the color-flavor-locked (CFL) phase of QCD for three flavors at high density, where the dynamics is dominated by zero modes of NG bosons. Comparing the ultraviolet expression of the finite-volume partition function in terms of Dirac eigenvalues with that coming from the low-energy effective theory near the Fermi surface, I will derive Leutwyler-Smilga-type spectral sum rules for Dirac eigenvalues and show that the BCS gap is the central quantity which characterizes the distribution of low-lying Dirac eigenvalues at high density. Next, I consider QCD with gauge group SU(2) (called two-color QCD) at high density, motivated by the fact that a first-principle lattice simulation is feasible in two-color QCD even at nonzero baryon density. The symmetry breaking pattern caused by a diquark condensate is discussed, in comparison with that at low density, and a low-energy effective theory for emergent NG modes is constructed with nonzero current quark mass. In the ε-regime I compute the quark mass dependence of the partition function exactly and derive novel spectral sum rules for Dirac eigenvalues at high density. I also define the microscopic limit of the spectral density at high density, and argue that it should be universal, i.e., solely determined by global symmetries and insensitive to the ultraviolet dynamics of QCD.

Inspired by the success of ChRMT at zero density, I introduce a new random matrix ensemble which shares the same symmetries as two-color QCD at high density. Within a saddle-point approximation I show that the large-N limit of the matrix model is identical to the ε-regime partition function at high density. The model is solved at large N in both limits of weak and strong non-Hermiticity, and the microscopic spectral density is obtained exactly for general number of flavors. Based on this, the severity of the sign problem is analyzed at low and high density, through the average sign of the quark determinant.

I will also discuss the insertion of the diquark source term into the effective theory and ChRMT. After deriving a high density analogue of the Smilga-Stern relation and new spectral sum rules for singular values of the Dirac operator, I will argue that it is the diquark condensate, rather than the BCS gap, which governs the distribution of small singular values. Finally I will generalize the Banks-Casher relation to the high density BCS phase, pointing out that the density of Dirac eigenvalues at the origin is proportional to the square of the BCS gap. All these analytical results can in principle be tested in future lattice simulations.

本論文は4章と補遺A、B、C、Dからなる。

第1章は、イントロダクションであり、研究の背景と目的について述べられている。有限温度及び有限密度におけるQCDの相図を考えるとき、ゼロ温度及びゼロ密度におけるカイラル対称性の破れの理解に重要な役割を果たすカイラルランダム行列模型を、高密度における2-カラーQCDに拡張し、Dirac演算子の固有値スペクトルを解析することにより、高密度におけるQCDの理解につなげることが本研究の目的である。

第2章は、本論文を構成する重要な概念の説明にあてられ、第2.1節では、有限温度及び有限密度におけるQCDの相図、第2.2節では、低密度における2-カラーQCD、第2.3節では、カイラルランダム行列理論が概説されている。

第3章が本論文の主要な部分である。まず、第3.1節では、通常の3-カラーQCDの場合に、高密度における対称性の破れとカイラルラグランジアンが説明された後、ε領域を定義し、Dirac演算子のスペクトル分布に対する和則が導かれている。第3.2節では、2-カラーQCDの場合に、高密度における対称性の破れとカイラルラグランジアンが説明された後、ε領域を定義し、Dirac演算子のスペクトル分布に対する和則が導かれている。第3.3節では、高密度における2-カラーQCDと同じ対称性を持つ、新しい非エルミートのカイラルランダム行列模型が導入され、行列の大きさ無限大の極限で、新しく導入された行列模型とε領域におけるカイラルラグランジアンの分配関数が等しくなることが、鞍点法を用いて示されている。このことは、新しく導入された行列模型が、高密度における2-カラーQCDに対する正しいカイラルランダム行列模型であることを強く示唆する。次に、第3.4節では、新しく導入された行列模型が、任意のフレーバー数について、非エルミート性が弱い場合と強い場合のそれぞれの場合に厳密に解かれ、行列の大きさ無限大の極限を取ることによって、微視的スペクトル密度が求められている。まず、行列の大きさが有限の場合に、スペクトル密度が分配関数によって表され、次に、分配関数の解析的な表式が求められ、行列の大きさが無限大の極限を取ることによって、微視的なスペクトル密度が、非エルミート性が強い場合と弱い場合にそれぞれ求められている。微視的なスペクトル密度は、クォーク質量に強く依存することがみとめられる。第3.5節では、符号問題が議論されている。まず、分配関数に対して平均場の仮定をすることにより高密度における微視的スペクトルの振動する振る舞いが説明されている。次に、非エルミート性が弱い場合には化学ポテンシャルの関数として、非エルミート性が強い場合にはクォーク質量の差の関数として、フェルミオン行列式の符号の平均が計算され、それぞれの場合に、化学ポテンシャル及びクォーク質量の差がある閾値を超えると符号問題が深刻になることが示されている。第3.6節ではダイクォークソース項が導入され、Banks-Casher型及びSmilga-Stern型の和則が導かれている。第3.7節では、高密度におけるBCSギャップに対するBanks-Casher型の関係式が導かれている。

第4章は、まとめと結論にあてられている。

補遺Aでは、数学的な記法、補遺B-Dでは、本文で省略された詳細な計算が整理されている。

本論文において考察されているカイラルランダム行列の有限密度への拡張は、最初Stephanovによって1つのランダム行列を用いて、後にOsbornによって2つのランダム行列を用いてなされたが、これらは、非エルミート性が弱い場合、すなわち低密度の場合に相当し、非エルミート性が強い場合、すなわち高密度の場合への拡張は、2-カラーQCDではあるが、論文提出者らが最初である。本論文の結果は、現実の世界が3-カラーQCDであるのに対して、2-カラーQCDではあるものの、Dirac演算子の固有値スペクトルの分布を通して高密度におけるQCDの理解への重要な一歩であると考えられる。

なお、本論文の内容は、T. Wettig、G. Akemann、山本直希、M. J. Phillipsとの共同研究に基づいているが、G. Akemann、M. J. Phillipsは数学的な側面での貢献が主であり、論文提出者、T. Wettig、山本直希が物理学的な側面で貢献したと考えられるが、論文提出者の寄与が最も顕著であると判断する。

したがって、博士(理学)の学位を授与できると認める。