本論文ではある種の(ordinary typeの)2次元ガロア表現の変形(定義については本論文3節を参照のこと)に対するColeman(-Perrin Riou)写像の構成を適当な条件のもとで行った.特にこの論文で得られた結果をBeilinson-Kato elementsに適用することで,肥田氏のΛ-進カスプ形式に付随する2変数のp-進L函数を得たのが主結果である.以下では肥田氏によって構成されたモジュラーガロア変形の場合に話を限って主結果を説明したい.

　以下素数〓を固定し,また有理数体Qの代数閉包Qの複素埋め込み〓とか進埋め込み〓を固定しておく.1の原始ps乗根のノルム系〓をひとつ固定する.Γdをダイヤモンド作用素からくるpro-p群とする.つまり,〓をモジュラー曲線Y1(pt+1)のダイヤモンド作用素のなす群のp-Sylow部分群とし,〓で定義する.Γdから1+Zp⊂Zp×への標準同型をκdであらわす.以下本稿ではZp(resp.Qp,zp[[Γd]])上の有限生成自由加群Mに対してM*でその線形双対をあらわすことにする.

　肥田氏の仕事により〓-加群〓で次のような性質をみたすものが構成されている:

　1.　各整数〓とΓdの重さk-2の数論的指標〓(ηdはΓdの位数有限指標)に対して,ある重さkのカスプ形式〓が存在して,〓での特殊化〓がDeligneの意味でのfXdに付随するGQのp-進表現となる.

　2.Τdへの作用をpでの分解群GQpに制限すると,F+Τd,Τd/F+Τd各々が階数1の自由Zp[[Γd]]-加群となるフィルトレーション

でF+ΤdへのGQpの作用がある不分岐指標αdで与えられるものがある.更にα(Frobp)=Ap(Frobpは幾何的フロベニウス)とすると,Γdの各重さ〓の数論的指標)Xdに対して,Xd(Ap)=αp(fXd)となる.

　G∞をQp(ζp∞)/Qpのガロア群とする.有限生成Zp[[G∞×Γd]]-加群Mに対して,Twc(M)(resp.Twd(M))を,Mと同じunderlying moduleをもちg∈G∞(resp.g∈Γd)の作用がg*x=Xcyc(g)(g*Mx)(resp.g*x=κd(g)(g*Mx))とtwistされたZp[[G∞×Γd]]-加群とする(ここで,x∈Twc(resp.x∈Twd)であり,*MはMへの元のG∞-action(resp.Γd-action)をあらわす).

　各整数〓に対して,ガロア表現ΤdのZp[[Γd]]-加群としての構造を,γd*x:=κdκ-2(γd)γd・x(γdのΓdの位相的生成元,・はもともとの作用)とtwistして得られたガロア表現をΤd(k)とおく.各〓で〓とする.〓なる自然数jに対して,階数1の自由Zp[[Γd]-加群Dを〓とおくと,〓はFontaineのde Rham加群DdR(Vt(k))/Fil0DdR(Vt(k))と同一視される.

　ここで,at(k)は不分岐表現F+Τd(k)に対応する不分岐指標をα(k)とするとき,α(k)(Frobp)∈Zp[[Γd]]のZp[[Γd]]/(γdpt-1)での像である.

　VをQpの絶対ガロア群GQpのp-進表現とするとき,加藤氏により,dual exponential map H1(Qp(ζps),V)〓が定義されている.この写像はBloch-Katoのfinie partと呼ばれる部分Hf1(Qp(ζps),V)⊂H1(Qp(ζps),V)による商〓を経由する.各整数の組j.k(resp. j',k')で〓(resg.〓)なるものに対して,次のようなZp[[G∞×Γd]]-加群としての標準的な同一視がある:

本論文での主定理は次のとおりである:

定理.記号等は上述の通りとする.階数1の自由Zp[[Γd]]-加群Dの基底dをひとつきめる.Zp[[G∞×Γ]]-線形写像〓で次の性質をみたすものが構成される:

　1.　Zp[[G∞×Γd]]-線形準同型Ωdは単射で,Coker(Ωd)はZp[[G∞×Γd]]-加群としてpseudo-nullとなる.

　2.　〓を満たす整数の組j,kごとに,

をnorm compatibleなcohomology elementsのシステムとする.また〓(resp.〓)なる組j,k(resp.j',k')に対して,Zp[[G∞×Γd]]-加群の構造を忘れたunderlying moduleの射

によって{cs',t'(j',k')}s',t'は{cs',t'(j,k)}s',t'に写されると仮定する.

　各整数〓とG∞の重さの数論的指標Xc=Xcycj-1ηc(ηcは有限指標)で〓なるものに対して,次のような補間性質を満たす:

　ηc≠1がconductor psの有限指標とすると,

　ここで,〈,〉sはペアリング

　とする.

　ηc=1が自明な指標とすると,

　まず最初に定理の系として2変数p-進L-函数が構成されることを述べ,後に主定理の証明について少し説明したい.

　重さkのカスプ形式〓に対して,fをそのdual modular〓とする(ここで,an(f)はan(f)の複素共役).またカスプ形式fのBetti realizationをMB(f)と記し,MB(f)±をその複素共役での±1-固有空間とする.MiB(f)±はそれぞれQf=Q({an(f)})上の1次元ベクトル空間となる.Dirichlet指標ηでtwistしたfのL-函数を〓とし,L(p)(f,η,s)をp-factorを抜いた〓とする.次のことを思い出そう:

　1.　〓とする.Eichler-Shimuraの同型により,

　2.　Vfをfのdual modular form fに付随するp-進表現とする.各〓に対して,〓はFil0DdR((Vf)*(1-j)))と同一視される(ここでQfpはQfのp-進完備化をあらわす).

　先の通り,Τdを肥田氏による2変数のモジュラーガロア変形とする.Fに付随する表現Τdの剰余表現が既約であるとき,加藤氏の仕事[Ka]によって,s,tに関して,norm compatibleなガロアコホモロジーの元の系,Z(j,k)={zs,t(j,k)∈H1(Qp(ζps),(Tt(k))*(1-j))}s,t〓0で次の性質をみたすものが構成される:

　1. Xd=κdk-2ηdをΓdの重さk-2の数論的指標とし,ηdがΓd/Γdptの指標であるとする.exp*-写像での像exp*(zs,t(j,i)))∈Fil0DdR((Vt(k))*(1-j)))ηdはQfXd・fXdに含まれる.

2.　〓の写像:

　での像は,L(p)(fXd,η,j)・δXdB,(-1)j-1η(-1)に等しい.ここで,上の最初の写像は,Q(fXXd)とQ(ζps)のQへの固定された埋め込みから定まる写像であり,δXdB,±はMB(fX')±のあるQfXd上の基底である(正確な定義は本論文3節を参照).

上述の主定理をこのZ(j,k)に対して適用することで次の系を得る.

系.Fに付随する表現Τdの剰余表現が既約であると仮定する.また,階数1の自由Zp[[Γd]]-加群D(1,2)の基底dをひとつ固定する.このとき,Kato elements Z(1,2)の像Ωd(1,2)(Z(1,2))∈Zp[[G∞×Γd]]は次のような補間性質をみたす:

ここでXcycj-1ηc(resp.Xd)はG∞(resp.Γd)の重さj-1(resp.k-2)の数論的指標で〓をみたすものとする.また,G(ηc,ζps)はガウス和を表し,Cp,d(fXd)(resp.C∞(-1)k-j-1ηc(-1)(fXd))はp-進周期(resp.複素周期)である(本論文3節を参照).

Remark.　肥田氏のΛ-進カスプ形式に付随する2変数のp-進L函数は,Greenberg-Stevens([GS]),北川氏([Ki]),太田氏らによっても構成されている.これらの仕事は,modular symbolの空間の補間を構成することによっており,本論文での構成と由来がことなる.

　主定理の証明は,古典的なコールマン写像の定理への帰着によって行う.(Vt(k))*(1-j)のde Rham加群Fil0DdR((Vt(k))*(1-j))が,DdR((F+Vt(k))*(1-j))に等しいこと,また,dual exponential mapが,

と経由されることにより,dual exponential mapの補間の構成の問題を1次元ガロア表現(F+Τd(k))*(1-j)へと帰着する.この表現(F+Τd(k))*(1-j)は不分岐指標によるtwistの差を除いて円分指標のでdefbrmationであることより証明がclassicalなColeman写像の話に帰着される.

REFERENCES

[GS] R. Greenberg, G. Stevens, p-adic L-functioris and p-adic periods of modular forms, Invent. Math. 111 no. 2, 407-447, 1993.

[Ka] K. Kato, p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms, preprint, 1998.

[Ki] K. Kitagawa, On standard p-adic L-functions of families of elliptic cusp forms, p-adic monodromy and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, 81-110, Contemp. Math., 165, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

　落合君は本論文において,肥田表現に対し,双対指数写像がp進連続に補間できることを示した.そしてこのことを使って肥田表現に対する2変数p進L関数の新しい構成を与えた.

　この論文の背景は次のとおりである.fを,Qp係数の正規化された重さk,指標eの保型形式で,すべてのHecke作用素の同時固有ベクトルであるものとする.このようなfに対し,絶対Galois群GQ=Gal(Q/Q)のp進表現pf:GQ→GL2(Zp)で,ほとんどすべての素数qで不分岐かつdet(1-Frqt)=1-aq(f)t+e(q)qk-1t2をみたすものが構成されている.Λd=Zp[[1+pZp]]〓Zp[[T]]を岩澤環とし,整数kと,Qpの有限次拡大の整数環0への位数有限な指標η:1+pZp→0×に対し|k,η:Λd→Oをk-2乗写像1+pZp→Zp×とηの積が定める環の準同型とする.f∈Λd[[q]]を,各〓に対しf|k,η∈O[[q]]が重さkの保型形式で,すべてのHecke作用素の同時固有ベクトルであるようなものとする.このようなfを以下Λ-進形式とよぶ.肥田はΛ-進形式fに対し,連続表現ρf:GQ→GL2(Λd)で,各〓に対し,ρf|k,η:GQ→GL2(O)が,ρf|k,η:GQ→GL2(O)を与えるようなものを構成した.この表現を以下肥田表現とよぶ.Greenberg-Stevens,北川,大田は,Λ-進形式fに対し,次のような性質をもつ2変数p進L関数L(f)∈Λc,dを構成した.ここで〓である.整数j,k,Qpの有限次拡大の整数環Oへの位数有限な指標ηc:1+pZp→O×,ηd:1+pZp→O×に対し,指標1+pZp→O×:a→aj-1ηc(a),a→ak-2ηd(a)が定める環の準同型をΛc,d→OによるL(f)の像を,L(f|k,ηd,ηc-1,j)で表わすことにする.このとき〓をみたす整数j,kに対し,L(f|kηd,ηc-1,j)を保型形式f|k,ηdのp進周期でわったものは,代数的数であり,それは複素L関数L(f|k,ηd,ηc-1,j)のs=jでの値を保型形式f|k,ηdの周期積分でわったものに簡単な因子をかけたものと等しい.

　落合君は本論文で双対指数写像をp進補間することにより,2変数p進L関数の新しい構成を与えている.この構成は,Beilinson-加藤により定義されたモジュラー曲線のK2の元がなすEuler系を使うものであり,岩澤主予想への応用が期待できるものである.

　主結果をのべるためにいくつか準備をする.T=Λd2を肥田表現とする.整数〓に対し,〓をk乗写像1+pZp→(1+pZp)/(1+pt+1Zp)に関するテンソル積とし,Tt(k)*をその双対表現,〓とする.p進体Qpの有限次拡大Kの絶対Galois群GKのp進表現Tに対し,〓とおき,DdR(V)を〓のGQp-不変部分とする.Hf1(K,T)を〓の核とし,exp*:H1(K,T)/Hf1(K,T)→F0DdR(V)を双対指数写像とする.整数〓に対し,加藤は,ノルムに関する逆極限の元〓で,次の性質をもつものを構成した.〓とする.各s,tに対し,exp*(zs,t(j,k))を保型形式f|k,ηdのp進周期でわったものは,代数的数であり,それは複素L関数L(f|k,ηd,ηc-1,s)のs=jでの値を保型形式f|k,ηdの周期積分でわったものに簡単な因子をかけたものと等しい.

　落合君は,肥田表現Tに対し,次の性質をみたすΛc,d-線型形式

を構成した.Ω(j,k)は単射で,かつΛc,dの高さ1の各素イデアルでは同型である.さらに,Ω(j,k)をk乗写像1+pZp→(1+pZp)/(1+pt+1Zp)がひきおこす環の準同型Λd→Zp[(1+pZp)/(1+pt+1Zp)]によってテンソルしたものは,簡単な修正ののち双対指数写像H1(Q(ζps),Tt(k)*(1-j))/Hf1(Q(ζps),Tt(k)*(1-j))→F0DdR(V)と一致する.この写像Ω(j,k)による〓の像は,上で述べたことから2変数p進L関数L(f)を与えることがわかる.

　証明の方針は次のとおりである.肥田表現は,階数1の部分表現F+Tで,商T/F+Tが階数1の不分岐表現となるものをもつことが知られている.そこで,Ω(j.k)を定義するにはTのかわりにF+Tを考えれば十分であることがわかる.さらに階数1の表現F+Tは比較的簡単な表現であるので,これはさらにColeman写像〓を使って構成する.

　本論文では,肥田表現に対する2変数p進L関数の新しい構成がp進Hodge理論を使った新しい方法で与えられている.またこの方法は岩澤主予想への応用も期待できるものである.よって論文提出者 落合 理は博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める.