V=Rlを1次元のEuclid空間とする.Wを有限で既約な鏡映群とし,鏡映群WのVへの作用は効果的であるとする.さらにWΣを鏡映群Wの放物型部分群として,V′をWΣが効果的に作用するベクトル空間とする.この論文では,鏡映群Wから定まる判別式（discriminant）ΔとWから定まる（圏的）商空間上の原始的ベクトル場ξを用いて,V′からVへのWΣ同変な埋め込み写像を構成する.

A（W）を,鏡映がWの元になっている超平面全体の集合とし,Wに関する鏡映面配置と呼ぶ.（W,Γ）をWのCoxeter系とし,Dを（W,Γ）のW-作用に関する基本領域とする.

Kを体R,Cのいずれかとし，〓とする.Rを鏡映群の不変式環とすると,Chevalleyの定理により,代数的に独立な斉次不変多項式〓が存在して,Rは〓と書き表すことができる.ここで,この生成元集合を以下1つとって固定する.

ここで商写像π:〓を〓とする.この写像の値域K-〓をVKの圏的商空間とよび,以下VKと書くことにする.ここで,VKの〓ι方向のベクトル場は原始形式や平坦構造の理論における,原始ベクトル場となる（[Sal1],[Sal2]）.以下ξでVKの原始ベクトル場を表すことにする.また,〓を原始ベクトル場の方向に関する射影とし,この写像の値域を〓と書くことにする.ここで，〓を〓の内点集合とする.

ここで,Wの判別式Δを〓とおく.ここで,lHは超平面Hを定義する1次式とする.Δ∈Rなので,圏的商空間Vの中に判別式の零点集合DW:{Δ=0}を定める.このとき判別式Δは, Wの各生成元σ∈Γに対応するEW上の1価解析関数ψσが存在して

と書き表される（[Sai3]）.原始ベクトル場ξは判別式の零点集合DWの正規点集合と横断的であることから,解析関数の零点集合γι-ψσ=0を原始ベクトル場に沿って動かした像γι-ψσ=±ξは実基本領域の商Dとの共通部分はι-1次元の実半解析的集合になる.ε∈Rに対して,p-1（EW）上で定義される半解析的集合Lσ（ε）を

とおく.また，σ∈Γに対して符号±1を次のように定める.

〓の部分集合Σに対してV上の実解析的集合〓，およびV上の半解析的集合LΣ⊂Vをそれぞれ次のように定義する.この半解析的集合LΣはWの部分群としてのWΣ作用に関して不変である.

この半解析的集合LΣを像とするV′からVへのWΣ-同変な埋め込み写像を構成することができた.

Theorem 1.ΣをΓの真部分集合としr=|Σ|とする.WΣをΣで生成されるWの放物型部分群とする.V′=RrをWΣが効果的に作用するEuclid空間とする.このとき,同相な埋め込み写像ιΣ:V′で,次の性質を満たすものが存在する.

1.ιΣV′=LΣでιΣはV′とLΣの間の同相写像を与える.

2.写像ιΣはV′の鏡映面配置A（WΣ）の補空間V′＼∪H∈A（WΣ）HをVの鏡映面配置A（W）の補空間V＼∪H∈A（W）Hにうつす．

3.H∈A（WΣ）を鏡映面とし,ω∈WΣをHに関する鏡映とする.このとき,ιΣは超平面HをA（W）の超平面H′の中にうつす.このとき,この超平面H′に関する鏡映ω′∈Wは自然な単射準同型WΣ〓Wを通してωと同一視される.

4.写像ιΣはWΣ作用に関して同変である.

特に|Σ|=ι-1の場合は上の2.から4.を満たす滑らかな半解析的写像Ψj:V′→Vであって,像Ψj（Rι-1）がι-1と微分同相になるものが存在する.

これら定理により，Artin群のコホモロジーに関する系が得られる.

ここで,鏡映群WのArtin群Wとは,複素化した鏡映面配置の補空間〓のW-作用に関する商空間の基本群W:=π1（M（A（W））/W）である.上の写像ΨΣは性質1.2.から,超平面配置によって定義される面分の組み合わせ的な構造を保つ.それにより埋め込み写像ΨΣはSalvetti複体XW（[Sal1],[Sal2]）の埋め込み〓を誘導する.これにより,次の系が得られる.

Corollary 2.埋め込み写像ΨΣはArtin群WとWΣの整係数コホモロジーの間の準同型写像〓を誘導する．

実線形空間Vに有限鏡映群Wが既約に作用しているとする．Wの鏡映面の補集合〓の複素化XCについて，商空間XC/Wの基本群はArtin群とよばれ，古典的な組みひも群の一連の一般化を与える．1970年代にDeligneによってXCの普遍被覆空間は可縮であることが証明された.したがって,Xc/WのコホモロジーはArtin群のコホモロジーと同型である．また, XCおよび商空間XC/Wのセル分割はSalvettiによって実鏡映面の集合が定義するstratificationを用いて与えられており，とくにXc/Wは多面体の境界をはりあわせた空間とホモトピー同値であることが知られている．このセル分割によって定まる複体はSalvetti複体とよばれ,これを用いたArtin群のコホモロジーに関する研究が, DeConcini, Procesi, Salvettiらによってなされている．

本論文の主題は,Wを定義するCoxeter系Γのある部分集合Σに対応して定義される放物型部分群WΣに対して,WとWΣそれぞれの鏡映面の集合の関係を，解析的に記述することである．そのための手法として，齋藤恭司によって構成された，原始ベクトル場が本質的に用いられている．WΣの作用する実線形空間をWΣで表す．本論文では,原始ベクトル場が生成するフローとdiscriminant集合の位置関係を詳細に記述し,このフローに関するdiscriminant集合のシフトを用いることによって,実半解折的な埋め込み写像ι:VΣ→Vで，WΣおよびWの作用と同変であるものを構成した．これによって，WΣの鏡映面の補集合は, Xの実半解析的部分集合として実現することができる. WΣとW対応にするArtin群を,それぞれ，AΣ，Aで表す．上の構成は，それぞれの複素化に拡張され，Artin群のコホモロジーを記述するSalvetti複体の間の自然な埋め込み写像が構成さる.したがって,群のコホモロジーの間の写像〓が誘導され,これは, Artin群とその放物型部分群のコホモロジーの関係の記述に有効に用いられる．

本論文は,原始ベクトル場の手法を用いて, Coxetcr群とその放物型部分群の鏡映面の相互関係および，Artin群とその放物型部分のコホモロジーに対して新しい知見をもたらしたものであり，位相幾何学と複素解析幾何学の分野に大きく貢献する．よって，論文提出者　八嶋洋行は，博士（数理科学）の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める．