Recently the chiral algebra of Beilinson-Drinfeld draws much attention in the mathematical physics of superstring theory. Naively, this is a holomorphic conformal field theory with integer graded conformal dimension, whose target space not necessarily has the vanishing first Chern class. We usually exclude such a situation from our consideration since non-linear sigma model on such a target manifold contains a logarithmic divergence and hence a non-vanishing beta function. Scale invariance will be lost in such a situation and one can not apply the method of CFT (Conformal Field Theory). This algebra has two ways of definition: one is that of Malikov-Schechtman-Vaintrob called the chiral. de Rham complex which glues affine patches, and the other is that of Kapranov-Vasserot by gluing the formal loop space. We will use the method of Malikov-Schechtman-Vaintrob in order to compute the gerbes of chiral differential operators.

If we use the method of chiral de Rham complex, when the manifold is covered by, say, 4 patches Uo,Ui,U2,U3, one first considers successive transformations Ui →U1+1. In the end one finds that under the total coordinate change U0 →U1→U2→ U3→ U0 the fields do not quite come back to their original values but there appears an additional term. Namely, there exists an obstruction or anomaly for a consistent CFT in such a system. It has been suggested that the obstruction is related to the first Pontryagin class of the manifold [Gorbounov-Malikov-Schechtman, Witten, Nekrasov, et.al.].

In this paper, we will explicitly confirm by 2 ways that the two independent ansatzes of Witten's (0,2) heterotic strings and Nekrasov's generalized complex geometry are consistent in the case of CP2. Note that this target space has 3 affine patches and is expected to has the 1st Pontryagin anomaly. One way is by step by step careful OPE (Operator-Product-Expansion) calculation and the other is the computation of the anomaly 2-form -- the 2-cocycle of the chiral de Rham complex -- in terms of coordinate transformation Jacobian matrices. We also compute the anomaly 2-forms in the case of 2 dimensional toric Fano manifolds (toric del Pezzo surfaces) of all degrees, by blowing up the generic 1,2,3 points of CP2. These coincide with the computation of the Hirzebruch-Riemann-Roch theorem. The most notable case is the 1 point blowup, where the total gauge invariant anomaly vanishes.

In chapter 2 of this thesis we start with the general theory of β , γ system (conformal dimensions of γ, β are 0 and 1, respectively) where γ field is identified as the local coordinate of the manifold and /3 field is identified as a 1-form. Following [Malikov-Schechtman-Vaintrob] and Nekrasov we discuss the transformation laws ofγ β system under coordinate change so that their OPE is preserved. Then in chapter 3 we discuss the case of CP2 as the target manifold and reproduce the result of Witten. In chapter 4 we consider the cases of del Pezzo surface, which are obtained by making blow-up at 1,2, and 3 points from CP2. The case of 1 point blow-up has the vanishing Pontryagin anomaly. We compute the obstruction for these cases and find that they are proportional to the first Pontryagin class of the manifolds. Computations are somewhat lengthy but straightforward. Non-trivial aspect of the computation is the change in the convention of the normal ordering when one goes to a different coordinate patch and we have to make a careful analysis. In chapter 5 the siginficant future direction towards its application to the geometric Langlands program is also discussed. In Appendix A we explain the historical background of Wess-Zumino-Witten theory. This theory is used in the ansatz of Nekrasov as an antisymmetric μ -term. In Appendix B we include some brief illustrations of the toric diagrams and blowups.

超弦理論は自然界の重力を含むすべての相互作用を統一する理論として期待されて研究が続けれられている.まだ最終目標に到達するにはほど遠い現状ではあるが,その数学的構造に関する理解は,純粋数学の様々な分野にも影響を与えながら着実に進展している.また,そうした影響のもとで数学者により得られた新たな洞察や方法が,逆に超弦理論の物理学的取り扱いや数学的見方に新しい観点を示唆するなどの点で物理学の立場からの理論の進展にも有用な役割を果たすことが期待できる.

超弦理論の現在の定式化は,弦の時空での運動の軌跡に対応する2次元面上の場の理論としての共形場の理論を主要な道具として用いている.共形不変性が成立していると,弦を伝わる振動モードは,一般に右向き,左向きモードを基本的に独立に取り扱える.それぞれのモードごとに対称性に対応する閉じた代数構造を定義することができ,それらは一般にカイラル代数と呼ぼれる構造を持っ.近年,このカイラル代数そのものを2次元場の理論から一応切り離して,それとは独立な立場から,公理論的に定義してその構造を調べるという研究が,Beilinson,Drinfeld等を初めとする数学者によってなされている.しかし,それらの結果は物理学者が従来親しんできている方法とはかなり異なった仕方で得られているため,物理学の立場からその結果を表現し直し,物理学者が有効に活用できるものにする作業も重要な仕事として位置づけることができる.

本論文の目的は,カイラル代数がグローバルな意味で矛盾なく定義できるための条件として数学者によって得られている結果に関して,物理学者の立場からWittenとNekrasovによってなされた先行する二つの独立した研究に基づき,さらにその関係を考究し,お互いの間の整合性を具体的な標的空間を例として確かめることにある.従って,本論文はカイラル代数に関しゼ従来まで未知の全く新しい結果を提出したものではないが,これまでその整合性が自明でなかった条件およびその表現方法に関して具体的な例によりその同等性を確認しようとしている点で意義がある.

本論文の概要を述べる.論文は5つの章と,二つの付録から構成されている.第1章Introductionでは,Beilinson-Drinfeldのカイラル代数の立場を簡潔に要約した後,その定義に関して数学者Malikov種Schechtman-Vaintrobによって提唱されたパッチ領域の貼り合わせに基づいたカイラル代数の構成法における障碍が,標的空間の第1ポントリャーギンクラスに他ならないことが説明されている.本論文では,この条件を共形場理論の量子異常の立場から見直すことを提案したWittenとNekrasovの方法に基づき,デル・ペッソ(delPezzo)曲面と呼ばれる特別な複素2次元代数曲面の場合について計算して整合性を確かめることが目的であるとされる.第2章OPE of chiral de Rham complexl:Malikov-Schechtman and Nekrasovでは,Wittenによって取り扱われているβ-γ系と呼ぼれる2次元共形場理論におけるカイラル代数の貼り合わせを調べるための準備として,演算子積展開の方法をNekrasovの仕事に基づきレビューしている.第3章Witten's CP2caseでは,まず標的空間が(CP2の場合について,Wittenが提唱した量子異常項に対する公式が,第2章で説明されたNekrasovの演算子展開に基づいた方法から得られるかどうかが議論されている.両者は一致した結果を与え,互いに整合的であることが確認されている.第4章Gaseofdel Pezzo surfacesが本論文の主要部分を成すここでは,第3章においてCP2の場合に整合性が確認された計算方法を標的空間XがdelPezzo曲面の場合について応用する.delPezzo surfaceは,CIP2からブローアップという方法で得られる.ブローアップされる点の個数がπのとき,第1ポントリャーギンクラスp1(-X)あるいはそれと同等である第2チャーンクラスcん2(X)は3(η-1)に等しいことが,代数曲面に対するリーマン・ロッホ定理からわかる.Wit七enおよびNekrasovが論じた量子異常が,数学者達によって提唱されたカイラル代数の貼り合わせによる定義に対する障碍と同等だとすると,Witten-Nekrasovに従った演算子展開からcん2(X)の表式が得られるべきである.そこで,実際にπ=1,2,3について演算子展開による計算を実行してこの事実が確かめられている.第5章Conclusion and future directionでは,本論文の結果について簡潔に要約がなされた後,今後の課題,特に論文提出者が目指すいくつかの方向に関して触れられている.付録AWess-Zumino-Wittentermでは,Nekrasovの論文で主張されている,量子異常とWess-Zumino-Witten有効作用との関係について補足的な議論が成されている.また,付録BToric diagrams and birational geometryは,del Pezzo曲面を得るときに用いるトーリック図形の方法についての簡単な説明が本文への補足として述べられている.

以上のように,本論文は,カイラル代数をグローバルに定義する際の障碍に関して,必ずしも自明ではなかった先行する研究の整合性を明確にした上で,さらにこれまで扱われていない具体例において第1ポントリャーギンクラスの演算子展開による導出を行った点で,今後の研究に役立つ結果を与えたと評価できる.

よって,審査委員会は全員一致で本論文は,博士(理学)の学位を授与するのにふさわしいものであると判定した.