Consider the solvable lattice model described by quantum R matrix of Uq($ln). Here we are considering models on the square lattice. By taking the limit q -> 0, it is known that the model bears combinatorial structure. Such system is described by Kashiwara's crystal bases theory, and q = 0 analogue of the R matrix is called the combinatorial R. Using the combinatorial R, we can define a commuting family of the row-to-row transfer matrix {Tl}l∈Z>o by the usual prescription. If we ignore all horizontal lines of the model and look at vertical lines, then we obtain the so-called box-ball model, which was introduced by D. Takahashi and J. Satsuma in 1990. In this setting,operators {Tl}1∈Z> yield the time evolution operators of the box-ball model.

Now we invoke the combinatorial bijection called the KKR bijection discovered by S. V. Kerov, A. N. Kirillov and N. Reshetikhin in 1986 as a combinatorial analogue of the Bethe ansatz. Here we are considering crystals associated to symmetric tensor representations. By the KKR bijection, we obtain complete sets of the action variables (i.e., constant of motion) and the angle variables (i.e. parameters which evolve linearly with respect to time) of the box-ball system. These action angle variables are called the rigged configurations. This result rely on highly nontrivial arguments and it demonstrates that the KKR bijection gives direct/inverse scattering trans-form of the box-ball system.

The original definition of the KKR bijection uses purely combinatorial language, and its representation theoretic origin is sought for a long time. We reformulate the KKR bijection in terms of the affine crystal bases. As an application of this formalism, we derive explicit analytic formula for the KKR bijection as the ultradiscrete limit of the tau functions for the KP hierarchy. This formula yields the general solution to the box-ball system as the byproduct. The result contains the general solution for the periodic box-ball system whose tau function is shown to be the ultradiscrete limit of the classical Riemann theta function.

As another direction of research, we consider tensor products of arbitrary Kirillov-Reshetikhin (KR) crystals. By Kirillov-Schilling-Shimozono(KSS)bijection, elements of tensor products of KR crystals have one-to-one correspondences with generalization of the rigged configurations. This is a natural generalization of the KKR bijection including the original one as special case. We give algebraic procedure to obtain the rigged configuration from tensor products of the KR crystals by using time evolution operators. This gives characterization of the KSS bijection as intrinsic property of tensor products of crystals.

These observations can be viewed as giving the first concrete example for the connection between the quantum inverse scattering formalism and the classical inverse scattering formalism.

本論文は6章からなる。第1章はイントロダクションであり、本研究で対象とする箱玉系、主な手法である全単射についての紹介と両者の関連、そして本博士論文の構成が簡潔にまとめられている。

本論文の研究対象は「箱玉系」と呼ばれるセルオートマトンである。箱玉系は可積分系であり、ソリトン方程式の超離散化と関連している。一方箱玉系の状態空間は結晶基底(量子群の変形パラメータq->0の類似物)のテンソル積で与えられ、時間発展は、量子行列のq->0極限で与えられ格子模型の極限となっている。箱玉系は量子可積分系とも古典可積分系ともみなせる点において、研究対象として数理物理学的に興味深い。その箱玉系の一般解を求めること、初期値問題を解くことは重要な課題である。

箱玉系の状態と結晶基底のテンソル積(path)が同一視できる一方、結晶基底のテンソル積とヤング図形の組の各行にriggingと呼ばれる整数を割り振ったrigged configurationとの問には一対一対応がある。両者を結ぶ全単射は全単射と呼ばれる。この全単射を用いると、箱玉系の時系列に対応するrigged configurationは、箱玉系の初期状態で決まるヤング図形の組と、時間の一次関数で与えられるriggingで与えられ、それぞれが作用変数(保存量)と角変数に対応する。このKKR全単射を用いて箱玉系の逆散乱形式を得、その初期値問題を解いたことが本論文の主な成果である。

第2章においては、KKR全単射の表現論的起源について述べている。もともと組み合わせ論的な煩雑な手続きとして定義されていたKKR全単射を、組み合わせ論的R行列とエネルギー関数を用いて再定式化し、その証明を与えたことがこの章の主な結果である。

第3章では第2章の結果に基づき箱玉系の一般Nソリトン解を導き、初期値問題を解いた。その際用いたrigged configurationから箱玉系の状態への逆散乱写像は、Fermi公式と呼ばれるKostka多項式とその一般化に対する多項式の恒等式を証明する際に現れる組み合わせ論的な全単射であった。この逆散乱写像はソリトン理論におけるKP方程式のt関数の超離散化にもなっている。

第4章では、結晶基底のテンソル積からrigged configurationを得る写像について結晶理論に基づく方法について議論している。

第5章では、これまでの長さ無限大の箱玉系に対して得られた結果を周期的箱玉系へ拡張し、その一般解を導いた。そして周期箱玉系のt関数がリーマンテータ関数の超離散極限によって表されることを示した。

第6章で結論と今後の展望について述べられている。

箱玉系という古典ソリトン系に対する逆散乱形式を得たこと、内部自由度を持つ箱玉系の初期値問題をはじめて解いたこと、ソリトン理論における関数と組み合わせ論におけるフェルミ公式の関連が見出されたこと、以上の点を審査委員会は評価した。

本研究の成果は,Nuclear Physics B,Journal of Algebraic Combinatorics,Journal of Statistical Mechanics,Letters in Mathematical Physicsの各専門誌に原著論文として発表されている(一篇は印刷中)。

なお、本論文第2章で述べられている結果は、国場敦夫氏、高木太一郎氏、尾角正人氏、山田泰彦氏との共同研究の成果であり、第3章、第5章の結果は、それぞれ国場氏、山田氏との共同研究、国場氏との共同研究との成果である。しかし論文提出者が主体となって分析および検証を行ったもので、論文提出者の寄与が十分であると判断する。したがって、博士(理学)の学位を授与できると認める。