It has been more than ten years since the seminal work by Maldacena, called the AdS/CFT correspondence. This correspondence is a realization of the gauge/string duality initially proposed by 't Hooft. He pointed out that the perturbative expansion of the SU(N) gauge theory can be interpreted as a genus expansion of the string theory in the large N limit. Maldacena found the conjecture that certain conformal field theories (CFT) are dual to string theories on Anti-de Sitter (AdS) spaces times compact manifolds in the large N limit. In particular, the four-dimensional N = 4 super Yang-Mills theory is dual to the type IIB superstring theory on AdS5 × S5. The AdS/CFT correspondence is a strong/weak type duality, due to which it is hard to check (or prove) the correspondence.

In order to test the AdS/CFT correspondence quantitatively, we need to know the correspondence of physical quantities in the both theories. Fortunately there is a dictionary to relate quantities in one theory to those in the other. According to this dictionary, the energy of a string excitation, for example, corresponds to the conformal dimension, which is the eigenvalue of dilatation operator, of the dual gauge invariant operator. Thus the comparison of spectrum of both theories sheds light on checking the AdS/CFT correspondence.

In 2002, Minahan and Zarembo found that the dilatation operator at one-loop in the 't Hooft coupling is equivallent to an integrable quantum spin-chain. By virtue of their discovery, we can diagonalize the dilatation operator systematically by using the so-called Bethe ansatz procedure. Since the perturbative dilatation operator contains long-range interactions, the Bethe ansatz to diagonalize it is called the asymptotic Bethe ansatz. Remarkably, the asymptotic Bethe ansatz equations producing all-loop spectrum have recently been proposed.

Though the asymptotic Bethe ansatz is very successful in investigating the perturbative spectrum of the dilatation operator, one should keep in mind that this method is broken down at the loop-order when long-range interactions exceed the length of the spin-chain (or operator). This finite-size effect is called wrapping effect. The similar effect is observed on string theory side due to virtual particles wrapping the worldsheet cylinder. The string Bethe ansatz also can not capture this effect. Thus to capture the wrapping effect, we need to find new fashions.

In this thesis, we study finite-size effects appearing in the AdS/CFT correspondence. Understanding the finite-size corrections is an important task and the first step towards the exact spectrum in finite-volume system. We discuss the finite-size effects for two cases: so-called dyonic giant magnons and multi giant magnons. For the dyonic giant magnons, we compute the leading finite-size correction to the energy in two ways. One is using the explicit string solutions, and the other is using the field theoretic tool called Luscher formula. We confirm that both computations give the same result, and show that the finite-size dyonic giant magnons receive exponentially suppressed corrections. On the other hand, for the multi giant magnons, we propose the Luscher formula for multi-particle states, and confirm it through some consistency checks. Using the proposed formula, we compute the finite-size energy shifts of the multi giant magnons at classical and one-loop levels. We find that our proposed formula reproduces the known results.

ここ十年ほどの超弦理論の進展のなかで生み出された新しい概念として,「重力・ゲージ対応」と呼ばれる重力理論とゲージ理論の間の対応関係がある.これは,従来は異なった相互作用を異なった原理に基づいて記述していると考えられていた一般相対性理論およびそれを含む超弦理論が,実は物理量の適当な読み替えのもとで,ゲージ理論のある特別な極限としても同等に記述できるという可能性である.超弦理論が両者を自然に含む統一理論であることから初めて到達できた考え方である.そのうち最もよく研究されてきたのは,本論文のタイトルにあるAdS/CFT対応と呼ばれるもので,典型的には4次元時空で共形不変性を保つ最大超対称なゲージ理論と,5次元の反デ・シッター(AdS)空間と5次元球面の積(AdS5×S5)として構成される特別の10次元時空における超弦理論との対応関係である.4次元ゲージ理論は,5次元AdS時空の境界としての4次元時空上の理論と見なすことができる,この対応関係は,現在のところあくまでもいくつかの根拠に基づいた「予想」の段階にあるものであるが,この予想を様々な状況において確認するための研究が盛んに行われている.さらに,この予想を4次元QCDのような,より現実的なゲージ理論にも拡張しようとする試みもなされており,今後の超弦理論およびゲージ場理論の発展にとって,その潜在的な重要さには計り知れないものがある.

本論文の目的は,AdS/CFT対応に関してゲージ理論側,弦理論側の両方にある積分可能性の性質をもとに,両者の関係を結合定数の全領域で有効な方法を用いて調べようとするアプローチに関して新知見を与えることにある.具体的には,重力(=10次元超弦理論)側で5次元球面のうち3次元球面部分に広がりを持ったある特定なクラスの弦の運動の古典解に基づき,これまでは主に無限に大きな角運動量を持った状態について議論されていた両者の対応関係を,有限な角運動量の場合まで拡張するために有用な知見を与えた.本論文の表題にある「有限サイズ」効果は角運動量の有限性のことである.ゲージ理論側ではこの角運動量の大きさが,弦理論側の状態に対応する複合演算子を1+1次元スピン鎖系と見なしたときの1次元体積(つまりスピン鎖の長さ)に対応する.

以下,本論文の構成に即して概要を述べる.第1章Introductionでは,AdS/CFT対応の背景と研究の現状について簡潔にまとめた後,本論文の議論に関わる積分可能性に基づいてここ数年なされてきた研究の進展,特に有限サイズ効果について先行して得られている結果の概略を説明し,本論文の構成が述べられている.第2章から第5章は,第6章以後の議論のための準備として,AdS/CFT対応(第2章),複素sine-Gordon方程式と古典弦の運動方程式との対応(第3章),大角運動量の弦理論状態に対応すると考えられるゲージ理論側の複合演算子の異常共形次元のスペクトルを可積分スピン鎖の方法で解析するのに用いるS行列の方法(第4章),有限サイズ効果を扱う基本的な描像であるwrapping効果(第5章)を与えるLusher公式についてのレヴューにあてられている.

続く第6章と第7章は論文申請者自身の研究に基づいており,本学位論文の主要部分をなす.第6章は,まず,第3章で議論されたS3×Rt時空(時間1次元と3次元球面のなす4次元時空)方向に拡がり,重心はAdS時空の中心に静止している弦の古典解(helical string)を解析して,二つの方向に角運動量(それぞれJ1,J2)をもったdyonic giant magnonと呼ばれる場合を調べ,J1が十分に大きくJ2が任意の有限値をとる場合のエネルギースペクトルを計算する.この解に基づき,J1が無限大の極限の結果にたいする指数関数的補正項を導出し,ゲージ理論側で対応する複合演算子の異常共形次元を表す分散式のJ1が十分大きいときの有限サイズ効果と比較した.ゲージ理論側の有限サイズ効果の計算は,第5章で論じられているwrapping効果を取り入れる方法としてのLusherの公式を非相対論的な複合状態に拡張することにより行っている.この公式によれば,エネルギースペクトルに対するwrapping効果は,μ-termと呼ばれる項とF-termと呼ばれる項の2つの部分からなっている.前者は角運動量が1個の場合に関する他グループによる先行する研究により,古典的な有限サイズ効果に対応する一方,後者は1-loop量子効果による有限サイズ効果に対応することが示されている.本論文は,前者の効果が確かに弦の古典解から得られる有限サイズ効果と一致することを示し,μ-termに関する既知の結果を二つの角運動量によって特徴づけられるdyonic giant magnonの場合に拡張した.

第7章では,前章の結果をさらに一般の多体複合状態(multi magnon bound state)に拡張する試みを論じた.そのためには,Lusher公式を多粒子状態へ拡張しなければならない.それを与える一般化されたLusher公式の提案を行い,その正当性の証左として,まず,F-termがゲージ理論のスピン鎖側の議論から得られる1-loop有限サイズ効果と一致することを示した.また,厳密に有限サイズ効果が議論できる2次元場の理論であるsinh-Gordon模型で知られている1-loop補正との比較により,本章で提案されたF-termの構造が確かにこの場合の厳密な結果と調和していることを示している,古典的な有限サイズ効果を表していると考えられるμ-termに関しては,すでにfinite-gap methodとして知られている別の方法に基づく既知の結果と比較することにより,本論文で提案した一般式から得られる結果と調和することを示している.さらに,特に全ての粒子が十分に多数の素励起magnon状態の複合状態であるという場合には,有限サイズの場合の漸近的Bethe ansatzから得られる結果とも調和する構造を持つことを示している.

以上のように,本論文は,有限サイズ効果に関してこれまで知られていた結果をdyonic giant magnonに拡張して超弦理論側と弦理論側の比較を行い,両者の整合性を示した.さらに,この結果をより一般的なmagnon複合状態に拡張するのに有用なLusher公式の一般化について新たな提案を行いその正当性を論じた.これらはどちらもAdS/CFT対応に関して今後の研究に有用な新しい知見を得ていると評価できる.本論文は,鈴木了氏との共同研究に基づくものであるが,申請者の主体的な寄与が十分なものであると認定した.よって,審査委員会は全員一致で本論文は,博士(理学)の学位を授与するのにふさわしいものであると判定した.