Rapid miniaturization of electronic devices or theoretical development of quantum technologies demand control methodologies for quantum systems. Feedback control utilizing the continuous quantum measurement, so-called measurement-based quantum feedback control was proposed in current form in 1990s. Afterward, it has been extensively investigated both theoretically and experimentally because feedback control is anticipated to have advantages such as robustness against noise or modeling error as in the classical case. Thus, measurement-based quantum feedback control is regarded as one of the most promising control methods for quantum systems.

However, the dynamics of the controlled quantum system under continuous quantum measurement is described by a highly complicated equation and thus the properties of the system are difficult to capture. Especially, from the viewpoint of accessibility and controllability which are the concepts of control theory to evaluate the degree of freedom of state transition, analysis for the controlled quantum systems under continuous quantum measurement up to this time is insufficient. For instance, properties of controlled quantum systems with imperfect detector efficiency are little-known, and, to the best of the author's knowledge, the accessible set under control has not been revealed.

The main purpose of this dissertation is to minutely investigate the properties of controlled quantum systems under continuous quantum measurement from the viewpoint of accessibility. To this end, we develop a new method appropriate to tackle the problem, focusing on the fact that the state of a quantum system is described by a matrix.

In the anterior part of this dissertation, theory and techniques of differential geometric analysis for a class of dynamic systems with matrix-valued states are developed. The formulation is obtained by generalizing controlled quantum systems under continuous quantum measurement, and thus the developed method can be directly used to investigate accessibility of the controlled quantum systems. Lie product of matrix functions is introduced and plays an important role in the theory. A simple and coordinate-free calculation method for Lie product of matrix functions is derived, which is used as a powerful tool for the accessibility analysis. The theory of observability analysis is also developed.

In the posterior part of this dissertation, we apply the method developed in the anterior half to the analysis of the controlled quantum systems under continuous quantum measurement. The simple and coordinate-free calculation method for Lie product of matrix functions enables analysis with a clear perspective. We investigate the controlled quantum systems under continuous quantum measurement more deeply than the existing works, utilizing the notion of strong accessibility distribution. As a result, we derive a condition for measurement under which the local state transition of the system is quite limited. We also provide a theorem which can be a guideline for designing or choosing an actuator from a viewpoint of controlling the degree of freedom of the local state transition of the system. These are applicable to the systems with imperfect detector efficiency. Special phenomena which occur with perfect detector efficiency are also revealed. In addition, we derive an explicit form of the accessible set under certain conditions. To the author's best knowledge, this is the first result showing the explicit form of the accessible set of a controlled quantum system under continuous quantum measurement, and this can be also a guideline for designing or choosing an actuator. Among all the results derived in this dissertation, the two results which can be guidelines to determine an actuator have particular importance from the engineering point of view.

At the last part of the dissertation, further generalized formulation, namely, dynamic systems with affine state space is introduced and methods for accessibility and observability analysis are developed.

近年、量子通信や量子情報処理への期待が高まり、その実用化に向けて様々な研究が盛んに行われている。その実現には、望みの量子状態の生成や保持に関する技術の確立が不可欠であり、量子制御の進展に期待するところは大きい。しかし、量子システムの動的挙動は古典的な物理系と大きく異なり、それに適したシステム理論を新たに構築し、それに基づいた解析・設計手法を確立していく必要がある。

本論文は「Differential Geometric Analysis for Dynamic Systems with Matrix-Valued States and Its Applications to Controlled Quantum Systems (行列値状態を持つ動的システムに対する微分幾何的解析とその量子制御系への応用)」と題し、全7章と付録A, Bから構成されている。「行列値状態を持つ動的システム」という新しい動的システムのクラスを提案し、その微分幾何的解析の理論を構築し、解析のためのツールを導出した後、それらの理論的結果を不完全連続測定下の量子制御系の解析に適用し、可到達性に関する新たな知見を得ている。

第1章「Introduction」では、本論文の背景と動機を述べた後、本論文の目的が行列値状態を持つ動的システムの基礎理論の構築と不完全連続測定下の量子制御系の解析にあることを説明している。

第2章「Dynamic Systems with Matrix-Valued States」では、行列値状態を持つ動的システムを定式化し、量子開放系、連続測定下の量子制御系、剛体系の3つの物理系がこの枠内で取り扱えることを示している。特に、連続測定下の量子制御系については、(1)量子フィルタリング理論による確率マスター方程式の導出し、(2)確率マスター方程式を直接扱うのではなく、それを等価変換した対応する行列値状態を持つ動的システムの枠内で扱うことにより、微分幾何的な取り扱いが容易になることを示している。

第3章「Differential Geometry and Calculus」では、本論文で重要な役割を果たす微分幾何学の基礎事項について説明した後、状態空間Xn(n×nエルミート行列全体の集合Hnとn×n実行列全体の集合Mn(R)の統一的記法)上での微分幾何学と解析学を展開している。特に重要な概念として、行列関数のリー積、行列関数のリー微分、行列関数の方向微分および行列関数のフレシェ微分とその共役作用素を定義し、連続測定下の量子制御系の解析で公式として活用される結果を導いている。

第4章「Differential Geometric Analysis for Dynamic Systems with Matrix-Valued States」では、行列値状態を持つ動的システムに対して、可到達集合、可到達・強可到達ディストリビューション等を定義し、可到達性解析の基礎的結果を得ている。また、見通しの良い可到達性解析を可能にするツールとして、行列関数のリー積の方向微分を用いた計算法を導出し、可観測性解析の理論の展開によるツールも提案している。最後に、剛体系の解析に以上の結果を適用し、提案手法の有効性を確認している。

第5章「Accessibility Analysis for Controlled Quantum Systems Under Continuous Quantum Measurement」では、第3章と第4章で構築した理論および導出したツールを用いて、連続測定下の量子制御系の解析を行っている。具体的には、測定作用素がある条件を満たすとき連続測定による状態変化の自由度が極めて小さいことを示し、測定作用素と制御ハミルトニアンがある関係式を満たすとき制御入力の効果が極めて小さいことを示している。これらの結果は、測定効率1未満でも成り立つ性質であり、現実的な状況を考える上で重要な意味を有しており、またアクチュエータの設計指針を与えるという工学的意義を持っている。

第6章「Further Generalization」では、行列値状態を持つ動的システムの本質的な部分を抽出、一般化し、「実アファイン空間を状態空間とする動的システム」を定式化している。具体的には、このクラスのシステムに対する微分幾何的解析のツールとして、リー積の方向微分を用いた計算法、リー微分の方向微分およびフレシェ微分の共役作用素を用いた計算法(定理6.4.1)を導出しており、量子制御系以外の物理系への応用が期待できる。

第7章「Conclusion」では、本論文のまとめを行うとともに、今後の研究課題について述べている。

以上を要するに、本論文は「行列値状態を持つ動的システム」という新しい動的システムのクラスを提案し、その微分幾何的解析の理論を構築し、解析のためのツールを導出したもので、独創性の高い研究である。また、それらの理論的結果を不完全連続測定下の量子制御系の解析に適用し、可到達性に関する新たな知見を得ており、工学上貢献するところ大である。よって本論文は、博士(情報理工学)の学位請求論文として合格と認められる。