本論文の目標は,非可換係数のReidemeister torsionのMorse 理論的或いは力学系的な表示を記述することと,後述する'高次の'homology cylinder たちの成すmonoid 及びそのhomology 同境群の代数構造を非可換係数のReidemeister torsionを用いて調べることである.

向き付けられた滑らかな閉多様体Xに対して,その上のRiemann 計量とS 1-値Morse 関数f : X→S 1であって,臨界点の安定多様体と不安定多様体が全て横断的に交わり,▽fの閉軌道が全て非退化であるものを選ぶ.生成元t ∈π1S 1をS 1の標準的な向きとは逆行するものとし, f*: π1X→に付随するZ[π1X]のNovikov 完備化をΛf ,1 +Σγ∈π1X,deg f*(γ)>0 aγγと書ける元から成るΛfの単数群の部分群をWとする.

但し,積は像を1 周だけするような閉軌道o: S 1 → X 全体の集合のパラメータ変換U(1)による商集合に渡って取るものとする.ここで,i-(o),i0(o)は各oに対して決まるある整数であり,また,σo,σ oは任意に選ばれたXの基点からo(S 1) への道とその逆,[σooσo]は道の合成σooσo が定めるπ1Xの元である.任意の積の順序に対して,この無限積が意味を持つこと,更に,ζfはその積の順序,道σoの選び方に依らないことが確かめられる.可換化写像π1X→ H1(X; Z) が誘導するWab からZ[H1(X : Z)]のNovikov 完備化の数群への準同型写像によって,ζfは'可'Lefschetz 型zeta 関数に写される.

次に,poly-torsion-free-abelianである群Gとα 0 ρ=f*となるような準同型写像ρ: π1X→ G,α: G (t)を取る.群環Z[G],Z[Ker α]はOre 整域であり,それぞれの商体Q(G),Kに埋め込まれることが知られており,半直積分解G=Ker α oθ htliに対応して,Q(G)=Kθ(tl)と表わすことができる.準同型写像ρ: π1X→GはLaurent 冪級数環Kθ((tl)) への準同型写像Λf→Kθ((tl))に自然に拡張されるが,これを再びρで表わす.群Wabと同様に構成されるKθ((tl))の単数群のある可換商Kθ((tl))abを考えると,誘導準同型写像ρ* :Wab→Kθ((tl))ab が得られる.

準同型写像ρに付随する局所系のhomology 群Hρ*(X;Kθ((tl))) が消えるとき,ρに付随するReidemeistertorsion τρ(X)∈ Kθ((tl))ab/±ρ(π1X) 及びf が定めるKθ((tl)) 上のNovikov 複体の代数的torsionとしてNovikovtorsion τNovρ (f)∈ Kθ((tl))ab/±ρ(π1X) が定義される.このとき,主定理は次の通りである.

定理1. 上のような(ρ, α)に対して,Hρ* (X;Kθ((tl))) が消えるならば,

これは可換表現の場合にHutchings-Lee,Pazhitnovによって得られていた公式の非可換係数への一般化となっており,Cochran,Friedl,arvey らによるhigher-order Reidemeister torsionの積分解を導く.

(空でもよい)n個の境界成分を持つ種数gの向き付けられたコンパクト曲面をΣg,nと書き,Γm :=π1Σg,n/(π1Σg,n)(m+1)と置く.まず,与えられた整数m%gt; 0に対して,'マーキング写像'i±: Σg,n→ ∂M が同型写像Γm ! π1M/(π1M)(m+1)を導くようなhomology cylinder (M, i±)として,Σg,n 上のm 次のhomology cylinderを導入する.これらm 次のhomology cylinderの同型類の集合C(m)g,n ,3 次元多様体として既約であるものたちの成す部分集合C(m)g,nは,cylinderの'積み重ね'によってmonoid,submonoidの構造を持つ.また,homologycylinder からのinclusion が基本群の同様の可解商の上に同型写像を導くような,滑らかなhomology 同境によるC(m)g,nの同境群H(m)g,nを導入する.群H(m)g,nはΣg,nの写像類群の一つの拡大を与えていることが確認できる.曲面の写像類群のDehn-Nielsen 写像の類似として,自然な準同型写像C(m)g,n→Out(Γm) 及び誘導準同型写像C(m)g,n! Out(Γm),H(m)g,n→Out(Γm) が考えられ,これらの核をそれぞれIC(m)g,n ,IC(m)g,n ,IH(m)g,nとする.

次に,Reidemeister torsionと上のDehn-Nielsen 型準同型写像を用いて,準同型写像

を構成する.ここで,Q(Γm)ab×はZ[Γm]の商体の単数群の可換化であり,〓Q(Γm)ab×→Q(Γm)ab×はΓm 上のinvolusion γ 7→ γー1 が誘導するinvolusionである.これらはCha-Friedl-Kimによって構成されたC(0)g,n,H(0)g,n上の準同型写像の拡張になっている.また,以下の定理が示される.

定理2. (g, n) , (0, 0), (0, 1)のとき,全ての正整数mに対して,準同型写像H(m)g,n→ Hg,n,IH(m)g,n→IHg,nは全射ではない.

更に,Σg,n×[0, 1],S 3の結び目補空間を各結び目に沿って張り合わせることによって,C(m)g,nの元を構成する方法を与え,そのeidemeister torsionの計算を行う.帰結として,以下の定理が得られる.

定理3.〓

(iii) (g, n) , (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0)のとき,全てのmに対して,〓である。

最後に,n > 0のとき,Q(Γm)ab×/±Γm からある自由abel 群への全射を構成することにより,以下の定理が示される.

定理4. n > 0 かつ(g, n) , (0, 1), (0, 2)のとき,全てのmに対して,IC(m)g,nは有限生成ではない.

この定理は合田-逆井によって示されたC(0)g,nの非有限生成性の類似的結果と見做せる.

本論文の目的は,非可換Reidemeister torsionのMorse 理論による力学系的な表示,および,高次のホモロジーシリンダーのなすモノイドとそのホモロジー同境群の代数構造の記述である.

Xを向き付けられたRiemann 多様体とする.X 上のS1に値をもつMorse 写像f : X → S1で臨界点の安定多様体と不安定多様体が横断的に交わり,fの勾配ベクトル場の閉軌道がすべて非退化であるものを考える.このようなMorse 写像がファイバー束の構造をもつと,eidemeistertorsion がLefschetz 型のゼータ関数によって表されることがMilnorによって知られていた.Hutching-Leeは,可換な表現に付随したeidemeistertorsionについて,これを一般のS1に値をもつMorse 写像に拡張し,Reidemeister torsion がゼータ関数とMorse-Novikov 複体のtorsionの積で表されることを示した.本論文において,この結果を非可換化し,Xの基本群のある種の非可換表現ρに対して, Reidemeister torsion が定義される局所系のホモロジー群の消滅の条件の下で,等式

を証明した.ここで,左辺は表現ρに対応する非可換Reidemeister torsionで,ζf,ρは勾配ベクトル場とρによって定まるLefschetz 型のゼータ関数,τNovρ (f)はMorse-Novikov 複体のtorsionを表す.

この結果は可換表現の場合にHutching-Lee, Pazhitnovによって得られていた公式の非可換係数への一般化となっていて,Cochran, Friedl, Harveyらによる高次のReidemeister torsionの積分解を導く.

らによる高次のReidemeister torsionの積分解を導く.論文の後半では,Cha-Friedl-Kimによる構成を拡張し,曲面の基本群のderived seriesに対応して定義される高次のホモロジーシリンダーのなすモノイドを定義して,その代数構造をReidemeister torsionを用いることによって記述した.

本論文は,非可換Reidemeister torsionとMorse-Novikov 理論について,新しい知見をもたらしたものであり,位相幾何学の分野に大きく貢献する.よって,論文提出者 北山貴裕は,博士(数理科学)の学位を受けるにふさわしい充分な資格があると認める.